គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

Problem 38 van khea: functional equations

រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\longrightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
\displaystyle \frac{f(x)+\alpha f(y)}{2}=f(\frac{x+\alpha y}{2}); \forall{x, y, \alpha \in R}
ចំលើយ
តាង f(1)=a; f(0)=b
យើងពិនិត្យករណី \alpha = 1 នោះយើងបាន \displaystyle \frac{f(x)+f(y)}{2}=f(\frac{x+y}{2}); \forall{x, y\in R}
ជាអនុគមន៍ Jesen ដូចនេះយើងទាញបាន f(x)=ax+b
ករណី \alpha \neq 1 នោះយើងជំនួស \alpha =0 យើងបានៈ
\displaystyle f(\frac{x}{2})=\frac{f(x)}{2}
យក x=0\Rightarrow f(0)=0
ចំពោះ \displaystyle x=1\Rightarrow f(\frac{1}{2})=\frac{f(1)}{2}=\frac{a}{2}
ចំពោះ \displaystyle x=\frac{1}{2}\Rightarrow f(\frac{1}{2^2})=\frac{a}{2^2}
តាមវាចារកំនើនយើងទាញបាន \displaystyle f(\frac{1}{2^n})=\frac{a}{2^n}\Rightarrow f(t)=at; t=\frac{1}{2^n} ប្តូរ t ទៅ x នោះយើងបាន f(x)=ax
យក x=0 នោះយើងទាញបានៈ \displaystyle f(\frac{\alpha y}{2})=\frac{\alpha f(y)}{2}
យក \displaystyle y=1\Rightarrow f(\frac{\alpha}{2})=\frac{\alpha}{2}f(1)=\frac{\alpha}{2}.a
យក \displaystyle t=\frac{\alpha}{2}\Rightarrow f(t)=at ជំនួស t ដោយ x នោះយើងនៅតែបានលទ្ធផល f(x)=ax
ដូចនេះយើងបានចំលើយគឺ \displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}ax+b;if, \alpha=1\\ax; if, \alpha \neq 1\end{array}\right.

Problem 37 van khea: functional equation

ចូររកគ្រប់អនុគមន៍ជាប់ f:R\longrightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមៈ
(1); f(0)=2012
(2); \displaystyle 2f(x)=5f(2x)-3f(4x));\forall{x\in R}

Problem 36: functional equation

រកគ្រប់អនុគមន៍ជាប់ f:R\longrightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
\displaystyle f(xy)=f(\frac{x^2+y^2}{2})+(x-y)^2, \forall{x, y\in R}

Problem 35: functional equation

រកគ្រប់អនុគមន៍ជាប់ f:[0;1]\longrightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមៈ
1) f(0)=f(1)=0
2) \displaystyle f(\frac{x+y}{2})\leq f(x)+f(y);\forall{x, y\in [0, 1]}

Problem 34: functional equation

រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\longrightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមៈ
f(xy-uv)=f(x)f(y)-f(u)f(v); \forall{x, y, u, v\in R}

Problem 33: functional equation

ចូរកំណត់គូនៃអនុគមន៍ f(x) និង g(x) កំណត់លើ R ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមៈ
(1):|g(0)|\leq 1
(2):6f(x)g(x)+25\geq 0;\forall{x\in R}
(3):3f(x)-2g(x)=10g(y)-30y;\forall{x, y\in R}