Centroid G of ABC: Author Van Khea

G

Let G be the centroid of \Delta ABC. Let AG, BG, CG cuts BC, CA, AB at D, E, F and cuts circumcircle of \Delta ABC at X, Y, Z. Let YZ, ZX, XY cuts $AG, BG, CG$ at P, Q, R.

a) Prove that: \displaystyle \frac{GD}{GX}+\frac{GE}{GY}+\frac{GF}{GZ}=\frac{3}{2}

b) Prove that: \displaystyle \frac{GD}{GP}+\frac{GE}{GQ}+\frac{GF}{GR}=3

Author: Van Khea

Advertisements

author by vankhea

NN

Let P be any point inside of \Delta ABC. Let AP, BP, CP cuts BC, CA, AB at D, E, F and cuts circumcircle of \Delta ABC at X, Y, Z.

Prove that: \displaystyle (\frac{XP}{PA}+\frac{YP}{PB}+\frac{ZP}{PC})(\frac{AD}{DX}+\frac{BE}{EY}+\frac{CF}{FZ})\geq 27

Author: Van Khea

Centroid of triangle ABC

center
Let D, E, F be midpoints of BC, CA, AB. Let AD, BE, CF cuts circumcircle of ABC at X, Y, Z.
Prove that \displaystyle \frac{XD^2}{DA^2}+\frac{YE^2}{EB^2}+\frac{ZF^2}{FC^2}\geq \frac{1}{3}

Van Khea: Cyclic R,A,Q,C:

IMAGE

Let I be incenter of \Delta ABC. Let BI cut circumcircle of \Delta ABC at D. Let P=AP\perp BC and Q\in PC such that BP=PQ. The circumcircle of \Delta BQD cut BA at R. Prove that R, A, Q, C are cyclic if and only if \angle B=60^0.

វិសមភាពចម្លែក

នេះជាវិសមភាពមួយដែលត្រូវបានខ្ញុំបង្កើតឡើងនៅ ខែ 08 ឆ្នាំ 2015។ ហេតុុអ្វីបានជាអ្នកស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាអោយឈ្មោះវិសមភាពនេះថា ជាវិសមភាពចម្លែក?

លំហាត់ៈ បើផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ស្ថិតនៅលើធ្នូនៃរង្វង់ចារឹកក្នុងត្រីកោណ។ ចូរកំណត់តម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃ \displaystyle P=\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} ដែល a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណ។

លទ្ធផលនៃលំហាត់ខាងលើធ្វើអោយយើងទទួលបាននូវ វិសមភាពដ៏ពិសេសមួយគឺ a+b+c\ge (1+\sqrt{2})\sqrt[3]{2abc}=3.041718\sqrt[3]{abc} និង a+b+c\le \sqrt[3]{46-22\sqrt{2}+8(1+\sqrt{2})\sqrt{43-30\sqrt{2}}}\times \sqrt[3]{abc}=3.090303\sqrt[3]{abc}

មិត្តអ្នកអានគណិតវិទ្យាប្រហែលជាច្រឡំគិតថាវាគឺជាវិសមភាព AM-GM ដែលគ្រប់ចំនួនពិតវិជ្ជមាន a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}

វិសមភាពចម្លែកខាងលើ ត្រូវបានអ្នកស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាមានចំណាប់អារម្មណ៌ និងជក់ចិត្តជាខ្លាំង ហើយវិសមភាពនេះក៏ត្រូវដាក់ផ្សាយនៅក្នងទសនាវដ្ដី Crux ផងដែរ។

សំរាប់លទ្ធផលខាងលើត្រូវបានលោក Leonard Giugiuc ជាជនជាតិរ៉ូម៉ានៀ និងលោក Lam Tran ជនជាតិវៀតណាម ធ្វើការស្រាយបញ្ជាក់។

វិសមភាពខាងលើត្រូវបានផ្សព្វផ្សាយលើទំព័រ facebook ដោយដាក់ឈ្មោះ Van Khea-Leonard Giugiuc

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាយុវជនខ្មែរយើងនឹងចេះបង្កើតនូវអ្វីដែលជារបស់ខ្លួនដើម្បីពង្រីកភាពយល់ដឹងអំពីគណិតវិទ្យាអោយដូចប្រទេសដែលជឿនលឿននៅក្នុងពិភពលោកដែរ។

សំរាប់ចំលើយខ្ញុំបាននឹងសរសេរបន្ថែមតាមក្រោយ។

ទ្រឹស្ដីបទ អ្នកនិពន្ធ​ វ៉ាន់ ឃា

vankhea 2017