Nice inequality (Author: Van Khea 06/2015)

Let a, b, c be positive real numbers such that abc=1.
Prove that:
\displaystyle \biggl(\frac{a}{1+b}\biggl)^{3/5}+\biggl(\frac{b}{1+c}\biggl)^{3/5}+\biggl(\frac{c}{1+a}\biggl)^{3/5}\geq \frac{3}{2^{3/5}}

សេដ្ឋីដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិតិចបំផុតនៅកម្ពុជា លោក វ៉ាន់ ឃា

វ៉ាន់ ឃា ជាអតីតសិស្សមកពីវិទ្យាល័យមិត្តភាពខ្មែរ-ជប៉ុន។ វ៉ាន់ ឃា បានប្រឡងជាប់បាក់ឌុបនៅឆ្នាំ 2006 ហើយក៏បានចូលរៀននៅសាលាតិចណូរយៈពេល 1 ឆ្នាំក្រោមការជួយអាហាររូបករណ៍របស់អង្គការជប៉ុនក្នុងរយៈពេល 4 ឆ្នាំ។ ក្រោយពីរៀននៅតិចណូបានមួយឆ្នាំ វ៉ាន់ ឃា ក៏បានប្រឡងជាប់អាហាររូបករណ៍ទៅប្រទេសវៀតណាម។ ដោយសារ វ៉ាន់ ឃា មានចំណង់ចំណូលចិត្តជាខ្លាំងលើផ្នែកគណិតវិទ្យា លោកក៏សំរេចចិត្តរត់ចោលអាហាររួបករណ៍នៅតិចណូទៅរៀននៅវៀតណាមផ្នែកវិស្វករសំណង់វិញ។ គោលដៅរបស់លោក វ៉ាន់ ឃា គឺទៅស្រាវជ្រាវនិងផ្ទៀងផ្ទាត់រូបមន្តចំនួនពីរដែលលោកបានរកឃើញកាលពីនៅរៀនវិទ្យាល័យ។
នៅក្នុងរយៈពេល 6 ឆ្នាំនៃការសិក្សានៅវៀតណាមលោក វ៉ាន់ ឃា ស្រាវជ្រាវស៊ីជំរៅលើមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាពនៃចំនួនពិត ហើយលោកក៏បានបង្កើតលំហាត់និងទ្រឹស្ដីបទយ៉ាងច្រើន។
នៅឆ្នាំ 2013 លោក វ៉ាន់ ឃា បានបញ្ចប់ការសិក្សានៅវៀតណាមផ្នែកវិស្វករសំណង់។ ក្រោយពេលត្រឡប់មកពីវៀតណាមវិញ លោកវ៉ាន់ ឃា ក៏បានបន្តទៅធ្វើការនៅប្រទេសថៃចំនួចមួយឆ្នាំ គឺក្នុងគោលបំណងស្រាវជ្រាវបន្ថែមលើចំនុចខ្វះខាត់ផ្នែកគណិតវិទ្យា តែជាអកុសលលោក វ៉ាន់ ឃា មិនចេះភាសាថៃទើបធ្វើអោយការស្រាវជ្រាវត្រូវបោះបង់ចោល និងទ្រាំធ្វើការនៅប្រទេសថៃចំនួន 7 ខែ។
ក្រោយពីមានការប្រែប្រួលនយោបាយរវាងកម្ពុជា និងថៃ លោក វ៉ាន់ ឃា បានត្រឡប់មកប្រទេសរបស់ខ្លួនវិញជាមួយលុយសន្សំបន្តិចបន្ទួច។ ក្រោយពីបានដឹងថាលោក វ៉ាន់ ឃា មកដល់ស្រុកខ្មែរជាមួយលុយកាកបន្តិចបន្ទួចនោះ ក៏មានមិត្តភក្ដិពីរនាក់បានរៀបចំគំរោងបោកប្រាស់លោក អោយទៅធ្វើការនៅខេត្តស្ទឹងត្រែងចំនួនពីរខែ ដោយមិនបើកប្រាក់ពលកម្មអោយហើយត្រូវចំណាយលុយអស់ពីខ្លួនទៀត (ពួកម៉ាក ចង្រៃ)។
ក្រោយមកលោក វ៉ាន់ ឃា ក៏សំរេចចិត្តមករស់នៅទីក្រុងភ្នំពេញជាមួយនឹងទឹកប្រាក់ 30$ ដើម្បីរកការងារធ្វើ។

11391530_1599142260371380_3127886462521246760_n

ទ្រឹស្ដីបទ៖ (អ្នកនិពន្ធ វ៉ាន់ ឃា) / Theorem: (Author: Van Khea)

តាង O ជាចំនុចមួយក្នុងប្លង់។ កន្លះបន្ទាត់ AO, BO, CO កាត់ BC, CA, AB រៀងគ្នាត្រង់ D, E, F រួចកាត់រង្វង់(ឬអេលីប)ចារឹកក្រៅត្រីកោណ \Delta ABC រៀងគ្នាត្រង់ P, Q, R
ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{\overline{AO}}{\overline{OP}}\cdot \frac{\overline{PD}}{\overline{DA}}+\frac{\overline{BO}}{\overline{OQ}}\cdot \frac{\overline{QE}}{\overline{EB}}+\frac{\overline{CO}}{\overline{OR}}\cdot \frac{\overline{RF}}{\overline{FC}}=1
figure 7
កំណត់ចំណាំក្នុងការប្រើប្រាស់សញ្ញានៃទ្រឹស្ដីបទខាងលើ៖
1) បើ D\in [BC] នោះយើងបាន \displaystyle \frac{\overline{AO}}{\overline{OP}}\cdot \frac{\overline{PD}}{\overline{DA}}=\frac{AO}{OP}\cdot \frac{PD}{DA} ហើយបើសិន D\notin [BC] នោះយើងបាន \displaystyle \frac{\overline{AO}}{\overline{OP}}\cdot \frac{\overline{PD}}{\overline{DA}}=-\frac{AO}{OP}\cdot \frac{PD}{DA}
2) បើ E\in [CA] នោះយើងបាន \displaystyle \frac{\overline{BO}}{\overline{OQ}}\cdot \frac{\overline{QE}}{\overline{EB}}=\frac{BO}{OQ}\cdot \frac{QE}{EB} ហើយបើសិន E\notin [CA] នោះយើងបាន \displaystyle \frac{\overline{BO}}{\overline{OQ}}\cdot \frac{\overline{QE}}{\overline{EB}}=-\frac{BO}{OQ}\cdot \frac{QE}{EB}
3) បើ F\in [AB] នោះយើងបាន \displaystyle \frac{\overline{CO}}{\overline{OR}}\cdot \frac{\overline{RF}}{\overline{FC}}=\frac{CO}{OR}\cdot \frac{RF}{FC} ហើយបើសិន F\notin [AB] នោះយើងបាន\displaystyle \frac{\overline{CO}}{\overline{OR}}\cdot \frac{\overline{RF}}{\overline{FC}}=-\frac{CO}{OR}\cdot \frac{RF}{FC}
រូបភាពខ្លះៗនៃការប្រែប្រួលរបស់សញ្ញានៅក្នុងទ្រឹស្ដីបទខាងលើ
ករណី O មិនស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណ​\Delta ABC
figure 8
\displaystyle -\frac{AO}{OP}\cdot \frac{PD}{DA}+\frac{BO}{OQ}\cdot \frac{QE}{EB}-  \frac{CO}{OR}\cdot \frac{RF}{FC}=1
ករណី O ជាផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ​ \Delta ABC
figure 9
\displaystyle \frac{PD}{DA}+\frac{QE}{EB}+\frac{RF}{FC}=1
ករណី O ជាផ្ចិតអេលីបចារឹកក្រៅត្រីកោណ​ \Delta ABC
figure 10
\displaystyle \frac{PD}{DA}+\frac{QE}{EB}+\frac{RF}{FC}=1