solution problem 314

(vankhea) គេអោយ a, b, c, d ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
(3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)(3+d^3)\geq 4(a+b+c+d)^3
ចំលើយ
តាង \displaystyle a=x^{\frac{2}{3}}; b=y^{\frac{2}{3}};c=z^{\frac{2}{3}};d=t^{\frac{2}{3}}
នោះយើងទាញបានៈ
(3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)(3+d^3)=(3+x^2)(3+y^2)(3+z^2)(3+t^2)
យើងមានៈ
(3+x^2)(3+y^2)=9+3(x^2+y^2)+x^2y^2=1+x^2y^2+8+3(x^2+y^2) \geq 2xy+8+3(x^2+y^2) \displaystyle =8+(x+y)^2+2(x^2+y^2)
\displaystyle \Rightarrow (3+x^2)(3+y^2)\geq 8+2(x+y)^2=8(1+(\frac{x+y}{2})^2)
ដូចគ្នាដែរយើងទាញបានៈ \displaystyle (3+z^2)(3+t^2)\geq 8+2(z+t)^2=8(1+(\frac{z+t}{2})^2)
\displaystyle \Rightarrow (3+x^2)(3+y^2)(3+z^2)(3+t^2)\geq 64(1+(\frac{x+y}{2})^2)(1+(\frac{z+t}{2})^2)=64(1+u^2)(1+v^2)
ក្នុងនោះ \displaystyle u=\frac{x+y}{2} ; v=\frac{z+t}{2}
យើងមាន (1+u^2)(1+v^2)=1+u^2v^2+u^2+v^2\geq 2uv+u^2+v^2=(u+v)^2
\displaystyle \Rightarrow (3+x^2)(3+y^2)(3+z^2)(3+t^2)\geq 64\biggl(\frac{x+y}{2}+\frac{z+t}{2}\biggl)^2\displaystyle =64\biggl(\frac{x+y+z+t}{2}\biggl)^2
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ \displaystyle x+y+z+t=a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}+d^{\frac{3}{2}}\displaystyle \geq 4\biggl(\frac{a+b+c+d}{4}\biggl)^{\frac{3}{2}}
\Rightarrow (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)(3+d^3)\geq 4(a+b+c+d)^3
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។​ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=d=1

បើតាមលំនាំខាងលើតើមិត្តអ្នកសិក្សាសង្កេតឃើញអ្វីដែលប្លែកទេ? ការបំភាន់ភ្នែករវាងដឺក្រេក៏ជាសិល្បៈមួយក្នងគណិតវិទ្យាដែរ ហើយយើងក៏មិនដឹងថាពេលណាគេបំភាន់ភ្នែកយើងតាមរៀបនេះដែរ ដូចនេះខ្ញុំអាចឆ្លើយមួយយ៉ាងខ្លីថាមានតែអ្នកមានបទពិសោធន៍ទេ ទើបដឹងថាជំហាននៃលំហាត់នីមួយត្រូវដើរតាមផ្លូវណា? ការកំណត់ពីរបៀបស្រាយបញ្ជាក់វាមិនមែនដាច់ខាតនោះទេ យើងអាចរកវិធីថ្មីៗមកស្រាយលំហាត់ដែលមានស្រាប់ នេះក៏ជាស្នាដៃមួយដែលបណ្ដាអ្នកសិក្សាទាំងឡាយតែងកោតសរសើ។
ឥឡូវឆ្លងកាត់បទពិសោធន៍ខាងលើ តើមិត្តអ្នកអានអាចមានវិធីស្រាយវិសមភាពខាងក្រោមនេះទេ???
ចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c យើងបានៈ \displaystyle (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\geq \frac{64}{27}(a+b+c)^3 ???
ការពិតលំហាត់ខាងលើនេះខ្ញុំក៏មិនទាន់មានវិធីស្រាយបញ្ជាក់ដែរ។ ហើយវិសមភាពខាងលើខ្ញុំក៏មិនដឹងថាពិតឬមួយមិនពិតនោះដែរ នេះជាសំណើរមួយសំរាប់អ្នកសិក្សាស្វែងយល់ និងត្រិះរិះ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាខ្ញុំអាចទទួលបានយោបល់ខ្លះៗពីមិត្តអ្នកសិក្សាទាំងអស់គ្នា។

2 Responses to solution problem 314

  1. van khea និយាយថា ៖

    វិសមភាពខាងលើពិតជានិច្ចក្នុងករណី a+b+c\leq 3

  2. Pingback: ប្រជុំវិសមភាព | MATHEMATICS FOR KHMER

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: