របៀបរកពីរលេខចុងក្រោយ

នៅក្នុងគណិតវិទ្យាការរកលេខចុងក្រោយនៃមួយចំនួនត្រូវបានគេអនុវត្តដោយប្រើភាពចែកដាច់។ ភាពចែកដាច់ត្រូវបានគេអ្នកប្រាជ្ញគណិតវិទ្យាជំនួសដោយប្រើពាក្យ Modulo ដែលមានលក្ខណៈ a=n\times q+r ដែល q\in \mathbb{Z} \& |r|<|n| ហើយគេកំណត់សរសេរ a=r(mod n) ។ ដោយឡែកនៅទីនេះការរកលេខចុងក្រោយគឺមានន័យថាយើងរកសំនល់នៃការចែក a និង 10 ; 100; 1000 ;…
ហើយចំពោះរបៀបរកមួយលេខចុងក្រោយខ្ញុំបានបកស្រាយរួចហើយ គឺវាមានលក្ខណៈពិសេសងាយយល់ ហើយចំពោះថ្ងៃនេះខ្ញុំនឹងលើកយករបៀបរកពីរលេខចុងក្រោយមកចែកជាចំណេះដឹងដល់លោកគ្រូ អ្នកគ្រូ សិស្ស និស្សិត ព្រមទាំងអ្នកស្រាយជ្រាវគណិតវិទ្យាទាំងអស់សំរាប់ពិចារណា។
ចំណាប់ផ្ដើម
យើងសង្កេតមើលពីរលេខចុងក្រោយនៃ 102 ; 235 ; 631; 59879 គឺស្មើនឹង 02; 35; 31; 79 ព្រោះថាៈ
102=100\times 1+02 គឺបានន័យថា 102 ចែកនឹង 100 មានសំណល់ស្មើនឹង 02
ចំពោះចំនុចនៅសល់មានន័យដូចគ្នាដែរ។
បើសិនជាយើងតាង b ជាពីរលេខចុងក្រោយនៃ a នោះយើងបាន a=b(mod 100)
ចំពោះវិធីសាស្រ្ដ Modulo ខ្ញុំគិតថាមិត្តអ្នកសិក្សាទាំងអស់ធ្លាប់ជួបនិងធ្លាប់ស្គាល់រួចមកហើយ ហើយនៅទីនេះខ្ញុំសូមមិនសរសេរអធីប្បាយបន្តែមទៅលើវិធីសាស្រ្ដ Modulo ទេ គឺខ្ញុំសរសេរនូវវិធីសាស្រ្ដថ្មីមួយទៀតដែលមានលក្ខណៈដូចខាងក្រោមៈ
យើងតាងនិមិត្តសញ្ញាពីរលេខចុងក្រោយដោយ vk_2 ក្នុងនោះលេខ 2 តំណាអោយពីរលេខចុងក្រោយនៃចំនួនណាមួយ។
ឧទាហរណ៍ថា បើ b ជាពីរលេខចុងក្រោយនៃ a នោះគេកំណត់សរសេរដោយ b=vk_2(a)
បើតាមឧទាហរណ៍ខាងលើនោះយើងបានៈ vk_2(102)=02 ; vk_2(235)=35; vk_2(631)=31; vk_2(59879)=79
យើងឃើញថារបៀបសរសេរខាងលើគឺសមញ្ញ ងាយយល់។
ចំណងបញ្ហា
តើត្រូវរកពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=a^n តាមរបៀបណា?
រូបមន្តនៃការរកពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=a^n ; a, n\in \mathbb{N}
សរសេរ n=20k+r ; k, r\in \mathbb{N} ; 1\leq r\leq 20
សរសេរ a=100p+\Bar{xy}; x, y\in \mathbb{N} ; 0\leq x\leq 9 ; 0\leq y\leq 9
នោះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=a^n ; a, n\in \mathbb{N} ត្រូវបានកំណត់ដោយៈ
vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl) បើ vk_1(a)=\{1; 3; 5; 7; 9\}
vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(60rx+76y)\biggl) បើ vk_1(a)=\{2; 4; 6; 8\}
សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្តៈ
តាមរូបមន្តទ្វេធា ញូតុនយើងមានៈ
\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k
តាមរយៈរូបមន្តនេះយើងអាចរកពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=a^n បានដូចខាងក្រោមៈ
យើងមានៈ \displaystyle a=100p+\bar{xy}\Rightarrow a^n=(100p+\bar{xy})^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k(100p)^{n-k}(\bar{xy})^k
\displaystyle \Leftrightarrow N=a^n=C_n^0(100p)^n+C_n^1(100p)^{n-1}.\bar{xy}+...+C_n^{n-1}(100p).(\bar{xy})^{n-1}+C_n^n(\bar{xy})^n
\Rightarrow vk_2(N)=vk_2(\bar{xy})^n
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ \displaystyle \bar{xy}=10x+y
\displaystyle \Rightarrow (\bar{xy})^n=(10x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k(10x)^{n-k}y^k
\displaystyle =C_n^0(10x)^n+C_n^1(10x)^{n-1}.y+...+C_n^{n-2}(10x)^2.y^{n-2}+C_n^{n-1}(10x).y^{n-1}+C_n^ny^n
\Rightarrow vk_2(N)=vk_2(\bar{xy})^n=vk_2(10nxy^{n-1}+y^n)
ដោយ n=20k+r នោះយើងបានៈ
vk_2(N)=vk_2(10x(20k+r)y^{20k+r-1}+y^{20k+r})
\Leftrightarrow vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{20k})\times vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl)
ម្យ៉ាងទៀត
+ បើ vk_1(a)=y=\{1, 3, 5, 7, 9\} នោះយើងបានៈ vk_2(y^{20k})=01
vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl)
+ បើ vk_1(a)=y=\{2, 4, 6, 8\} នោះយើងបានៈ vk_2(y^{20k})=76
\Rightarrow vk_2(N)=vk_2\biggl(76\times vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl)
=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1}\times vk_2((70+6)(10rx+y))\biggl)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(60rx+76y)\biggl)
ដូចនេះរូបមន្តត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

ថ្វីត្យិតរូបមន្តខាងលើមើលទៅដូចជាមានលក្ខណៈស្មុគស្មាញពិបាកចាំបន្តិចមែន ក៏ប៉ុន្តែវាអាចជួយអោយមិត្តអ្នកសិក្សាងាយស្រួលរកពីរលេខចុងក្រោយបានយ៉ាងលឿន។ គឺយើងគ្រាន់តែប្រើវិធីបូក ដក គុណ ចែក តាមបែបសមញ្ញក៏អាចរកឃើញពីរលេខចុងក្រោយនៃមួយចំនួនដែលមានស្វ័យគុណច្រើន។ ចំនុចសំខាន់នៃការអនុវត្តវិធីនេះគឺដំបូងយើងត្រូវពិនិត្យ លើលេខចុងក្រោយរបស់ a ថាតើវាគូឬសេស។ បើសិនជាលេខគូនោះយើងត្រូវប្រើរូបមន្តមួយណា? ខាងក្រោមនេះជាឧទាហរណ៍មួយចំនួនក្នុងការអនុវត្តន៍ៈ
ឧទាហរណ៍ 1 ចូររកពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=12^{25}
យើងមាន vk_1(12)=2 នោះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N ត្រូវបានកំណត់តាមរូបមន្តៈ
vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(60rx+76y)\biggl)
ដោយ 25=20\times 1+5\Rightarrow r=5; 12=100\times 0+12\Rightarrow x=1; y=2
ដូចនេះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=12^{25} កំណត់ដោយៈ
vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(2^4)\times vk_2(60.1.5+76.2)\biggl)=vk_2(16\times 52)=vk_2(832)=32
ដូចនេះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N គឺស្មើនឹង 32
ឧទាហរណ៍ 2 រកពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=3333^{4444}
យើងមានៈ vk_1(3333)=3 នោះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N កំណត់តាមរូបមន្តៈ
vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl)
ដោយ 4444=20.222+4\Rightarrow r=4 ; 3333=100.33+33\Rightarrow x=y=3
ដូចនេះយើងបានៈ
vk_2(N)=vk_2(vk_2(3^3).vk_2(10.4.3+3))=vk_2(27.23)=vk_2(621)=21
ដូចនេះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N គឺស្មើនឹង 21
ចំណាំប្រសិនបើមិត្តអ្នកអានជួបលេខដែលមានសំនល់ r ច្រើន មិត្តអ្នកសិក្សាអាចប្រើរូបមន្ត vk_2(y^{r-1})=vk_2(y^{m+n+p+...})=vk_2(vk_2(y^m).vk_2(y^n).vk_2(y^p)....)
លំហាត់អនុវត្ត
១) រកពីរលេខចុងក្រោយនៃ 41^{14}; 78^{36}; 92^{2012}
២) ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ 3333^{4444}+12^{25}+3 ចែកដាច់នឹង 4 ។
អរគុណមិត្តអ្នកសិក្សាទាំងអស់ដែលខំចំណាយពេលស្វែងយល់នូវវិធីរកពីរលេខចុងក្រោយនេះ ។

One Response to របៀបរកពីរលេខចុងក្រោយ

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: