Problem 332 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

សន្មត់ថា a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ abc=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\leq 64\biggl(\frac{a+b+c}{3}\biggl)^9
សំរាយបញ្ជាក់
អនុវត្តវិសមភាព AM-GM យើងមានៈ
\displaystyle (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\leq \biggl(\frac{a^3+b^3+c^3+9}{3}\biggl)^3\displaystyle =\biggl(\frac{a^3+b^3+c^3+9abc}{3}\biggl)^3
ដោយ a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយនោះយើងបានៈ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq \frac{39}{5}}
យក k=9 នោះយើងបាន
\displaystyle a^3+b^3+c^3+9abc\leq \frac{4}{9}(a+b+c)^3
\displaystyle \Rightarrow (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\leq \biggl(\frac{\frac{4}{9}(a+b+c)^3}{3}\biggl)^3\displaystyle =64\biggl(\frac{a+b+c}{3}\biggl)^9
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=1
ចំនុចសំខាន់នៃលំហាត់នេះគឺត្រូវស្រាយវិសមភាព \displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq \frac{39}{5}} ដោយរបៀបណា???
យក \displaystyle k=\frac{39}{5} នោះវិសមភាពដែលត្រូវស្រាយគឺ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+\frac{39}{5}abc\leq \frac{2}{5}(a+b+c)^3 (1)
ដោយ a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយនោះយើងបានៈ
\displaystyle x=\frac{b+c-a}{2}>0; y=\frac{c+a-b}{2}>0; z=\frac{a+b-c}{2}>0
ទាញរកតំលៃ a, b, c យើងបានៈ a=x+y; b=y+z; c=z+x
ជំនួសចូលវិសមភាព (1) យើងបានៈ
\displaystyle (x+y)^3+(y+z)^3+(z+x)^3+\frac{39}{5}(x+y)(y+z)(z+x)\displaystyle \leq \frac{2}{5}(2(x+y+z))^3
\displaystyle \Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) ពិតជានិច្ចព្រោះវាជាវិសមភាព Schur ដឺក្រេទី ៣ ។
សមភាពកើតមានពេល a=b=c

ចំនុចសំខាន់ៗដែលត្រូវចងចាំនិងចំនុចដែលប្អូនៗជំនាន់ក្រោយត្រូវបន្តស្រាវជ្រាវរកនូវចំនុចមិនទាន់មានៈ

ចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c នោះយើងបានវិសមភាពខាងក្រោមៈ
វិសមភាពដែលមានហើយ
\bigstar \displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\geq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\leq \frac{15}{4}}
\bigstar \displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq 24}
ចុះបើសិនតំលៃ \displaystyle \frac{15}{4}<k<24 វិញ??
តើគ្រប់តំលៃ \displaystyle k\geq \frac{15}{4} វិសមភាព \displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 សុទ្ទតែពិតឬយ៉ាងណា?
ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់លើចំងល់មួយនេះ ខ្ញុំលើកយកចំនុចមួយដែលមានលទ្ទផលកាន់តែជាក់ស្ដែងទៀតគឺ បើសិនជា a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយនោះយើងបានវិសមភាព\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq \frac{39}{5}}
សំនួរសួរទៅមិត្តអ្នកអានថាតើតំលៃ k ល្អបំផុតដែលធ្វើអោយវិសមភាព\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ស្មើនឹងប៉ុន្មាន???

ដូចនេះចំនុចមួយនេះខ្ញុំទុកនាទីអោយមិត្តអ្នកអានធ្វើការស្រាវជ្រាវបន្ត ។

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: