Problem 331 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

សន្មត់ថា a, b, c>2 ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ abc=125. ស្រាយបញ្ជាក់ថា
\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a-2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b-2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c-2}}\geq \sqrt[3]{9}
សំរាយបញ្ជាក់
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{a-2}{3}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{b-2}{3}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{c-2}{3}}}\geq 3
តាង \displaystyle x=\sqrt[3]{\frac{a-2}{3}};y=\sqrt[3]{\frac{b-2}{3}};z=\sqrt[3]{\frac{c-2}{3}}
យើងទាញបានៈ \displaystyle a=3x^3+2;a=3y^3+2;a=3z^3+2
ដោយ abc=125 នោះយើងបាន (3x^3+2)(3y^3+2)(3z^3+2)=125
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3
តាមវិសមភាព Mahler យើងមានៈ
\sqrt[3]{(3x^3+2)(3y^3+2)(3z^3+2)}\geq \sqrt[3]{3x^3.3y^3.3z^3}+\sqrt[3]{2.2.2}
\Rightarrow \sqrt[3]{125}\geq 3xyz+2\Rightarrow xyz\leq 1
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាចំពោះ xyz\leq 1 នោះយើងបានៈ xy+yz+zx\geq 3xyz
តាមវិសមភាព AM-GM យើងមាន xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមាន 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\geq 3xyz\Leftrightarrow xyz\leq 1 ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=5

One Response to Problem 331 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

  1. Pingback: ប្រជុំវិសមភាព | MATHEMATICS FOR KHMER

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: