Problem 319 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

សន្មត់ថា a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយ ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ a+b+c=3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{1}{4}(abc+3)\geq\displaystyle \frac{1}{3}(ab+bc+ca)\geq \frac{1}{5}(2abc+3)
សំរាយបញ្ជាក់
យើងត្រូវស្រាយបញ្ជាក់មួយវិសមភាពម្ដងៗ
a) ស្រាយបញ្ជាក់ថាបើ a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ a+b+c=3 នោះគេបានៈ
\displaystyle \frac{1}{4}{abc+3}\geq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)
របៀបទី1 អនុវត្តវិសមភាព AM-GM ចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន x, y, z យើងមានៈ
(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz
តាង a=x+y; b=y+z; c=z+x នោះយើងបានៈ
abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
\displaystyle \Leftrightarrow abc\geq (3-2a)(3-2b)(3-2c)
\displaystyle \Rightarrow 3(abc+3)\geq 4(ab+bc+ca)
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{4}{abc+3}\geq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)
សមភាពកើតមានពេល a=b=c=3
របៀបទី2 ដោយ \displaystyle a+b+c=3 នោះយើងអាចតាង \displaystyle a=\frac{3x}{x+y+z}; b=\frac{3y}{x+y+z}; c=\frac{3z}{x+y+z}
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) ជាវិសមភាព Schur ដឺក្រេទី 3 ។ (មិត្តអ្នកអានពន្លាតកន្សោមរួចគណនា)
b) ស្រាយបញ្ជាក់ថាបើ a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ a+b+c=3 នោះគេបានៈ
\displaystyle \frac{1}{3}(ab+bc+ca)\geq \frac{1}{5}(2abc+3)
ដោយ a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយនោះយើងបានៈ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+\frac{39}{5}abc\leq \frac{2}{5}(a+b+c)^3
ចំណាំ (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+b^2c+c^2a)+3(ab^2+bc^2+ca^2)+6abc
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
a^3+b^3+c^3+9abc\leq 2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)
\displaystyle \Leftrightarrow (a+b+c)^3+18abc\leq 5(a+b+c)(ab+bc+ca)
ជំនួស a+b+c=3 នោះយើងបានៈ
\displaystyle 27+18abc\leq 15(ab+bc+ca)\Rightarrow \frac{1}{3}(ab+bc+ca)\geq \frac{1}{5}(2abc+3)
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជា់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

One Response to Problem 319 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

  1. Pingback: ប្រជុំវិសមភាព | MATHEMATICS FOR KHMER

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: