សៀវភៅគណិតវិទ្យាៈ វិសមភាពសំរាប់សិស្សពូកែថ្នាក់ទី 12

វិសមភាពសំរាប់ត្រៀមប្រឡងសិស្សពូកែ IMOគណិតវិទ្យាសំរាប់ត្រៀមប្រឡងសិស្សពូកែ IMO

Advertisements

របៀបរកពីរលេខចុងក្រោយ

នៅក្នុងគណិតវិទ្យាការរកលេខចុងក្រោយនៃមួយចំនួនត្រូវបានគេអនុវត្តដោយប្រើភាពចែកដាច់។ ភាពចែកដាច់ត្រូវបានគេអ្នកប្រាជ្ញគណិតវិទ្យាជំនួសដោយប្រើពាក្យ Modulo ដែលមានលក្ខណៈ a=n\times q+r ដែល q\in \mathbb{Z} \& |r|<|n| ហើយគេកំណត់សរសេរ a=r(mod n) ។ ដោយឡែកនៅទីនេះការរកលេខចុងក្រោយគឺមានន័យថាយើងរកសំនល់នៃការចែក a និង 10 ; 100; 1000 ;…
ហើយចំពោះរបៀបរកមួយលេខចុងក្រោយខ្ញុំបានបកស្រាយរួចហើយ គឺវាមានលក្ខណៈពិសេសងាយយល់ ហើយចំពោះថ្ងៃនេះខ្ញុំនឹងលើកយករបៀបរកពីរលេខចុងក្រោយមកចែកជាចំណេះដឹងដល់លោកគ្រូ អ្នកគ្រូ សិស្ស និស្សិត ព្រមទាំងអ្នកស្រាយជ្រាវគណិតវិទ្យាទាំងអស់សំរាប់ពិចារណា។
ចំណាប់ផ្ដើម
យើងសង្កេតមើលពីរលេខចុងក្រោយនៃ 102 ; 235 ; 631; 59879 គឺស្មើនឹង 02; 35; 31; 79 ព្រោះថាៈ
102=100\times 1+02 គឺបានន័យថា 102 ចែកនឹង 100 មានសំណល់ស្មើនឹង 02
ចំពោះចំនុចនៅសល់មានន័យដូចគ្នាដែរ។
បើសិនជាយើងតាង b ជាពីរលេខចុងក្រោយនៃ a នោះយើងបាន a=b(mod 100)
ចំពោះវិធីសាស្រ្ដ Modulo ខ្ញុំគិតថាមិត្តអ្នកសិក្សាទាំងអស់ធ្លាប់ជួបនិងធ្លាប់ស្គាល់រួចមកហើយ ហើយនៅទីនេះខ្ញុំសូមមិនសរសេរអធីប្បាយបន្តែមទៅលើវិធីសាស្រ្ដ Modulo ទេ គឺខ្ញុំសរសេរនូវវិធីសាស្រ្ដថ្មីមួយទៀតដែលមានលក្ខណៈដូចខាងក្រោមៈ
យើងតាងនិមិត្តសញ្ញាពីរលេខចុងក្រោយដោយ vk_2 ក្នុងនោះលេខ 2 តំណាអោយពីរលេខចុងក្រោយនៃចំនួនណាមួយ។
ឧទាហរណ៍ថា បើ b ជាពីរលេខចុងក្រោយនៃ a នោះគេកំណត់សរសេរដោយ b=vk_2(a)
បើតាមឧទាហរណ៍ខាងលើនោះយើងបានៈ vk_2(102)=02 ; vk_2(235)=35; vk_2(631)=31; vk_2(59879)=79
យើងឃើញថារបៀបសរសេរខាងលើគឺសមញ្ញ ងាយយល់។
ចំណងបញ្ហា
តើត្រូវរកពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=a^n តាមរបៀបណា?
រូបមន្តនៃការរកពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=a^n ; a, n\in \mathbb{N}
សរសេរ n=20k+r ; k, r\in \mathbb{N} ; 1\leq r\leq 20
សរសេរ a=100p+\Bar{xy}; x, y\in \mathbb{N} ; 0\leq x\leq 9 ; 0\leq y\leq 9
នោះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=a^n ; a, n\in \mathbb{N} ត្រូវបានកំណត់ដោយៈ
vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl) បើ vk_1(a)=\{1; 3; 5; 7; 9\}
vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(60rx+76y)\biggl) បើ vk_1(a)=\{2; 4; 6; 8\}
សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្តៈ
តាមរូបមន្តទ្វេធា ញូតុនយើងមានៈ
\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k
តាមរយៈរូបមន្តនេះយើងអាចរកពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=a^n បានដូចខាងក្រោមៈ
យើងមានៈ \displaystyle a=100p+\bar{xy}\Rightarrow a^n=(100p+\bar{xy})^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k(100p)^{n-k}(\bar{xy})^k
\displaystyle \Leftrightarrow N=a^n=C_n^0(100p)^n+C_n^1(100p)^{n-1}.\bar{xy}+...+C_n^{n-1}(100p).(\bar{xy})^{n-1}+C_n^n(\bar{xy})^n
\Rightarrow vk_2(N)=vk_2(\bar{xy})^n
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ \displaystyle \bar{xy}=10x+y
\displaystyle \Rightarrow (\bar{xy})^n=(10x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k(10x)^{n-k}y^k
\displaystyle =C_n^0(10x)^n+C_n^1(10x)^{n-1}.y+...+C_n^{n-2}(10x)^2.y^{n-2}+C_n^{n-1}(10x).y^{n-1}+C_n^ny^n
\Rightarrow vk_2(N)=vk_2(\bar{xy})^n=vk_2(10nxy^{n-1}+y^n)
ដោយ n=20k+r នោះយើងបានៈ
vk_2(N)=vk_2(10x(20k+r)y^{20k+r-1}+y^{20k+r})
\Leftrightarrow vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{20k})\times vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl)
ម្យ៉ាងទៀត
+ បើ vk_1(a)=y=\{1, 3, 5, 7, 9\} នោះយើងបានៈ vk_2(y^{20k})=01
vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl)
+ បើ vk_1(a)=y=\{2, 4, 6, 8\} នោះយើងបានៈ vk_2(y^{20k})=76
\Rightarrow vk_2(N)=vk_2\biggl(76\times vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl)
=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1}\times vk_2((70+6)(10rx+y))\biggl)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(60rx+76y)\biggl)
ដូចនេះរូបមន្តត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

ថ្វីត្យិតរូបមន្តខាងលើមើលទៅដូចជាមានលក្ខណៈស្មុគស្មាញពិបាកចាំបន្តិចមែន ក៏ប៉ុន្តែវាអាចជួយអោយមិត្តអ្នកសិក្សាងាយស្រួលរកពីរលេខចុងក្រោយបានយ៉ាងលឿន។ គឺយើងគ្រាន់តែប្រើវិធីបូក ដក គុណ ចែក តាមបែបសមញ្ញក៏អាចរកឃើញពីរលេខចុងក្រោយនៃមួយចំនួនដែលមានស្វ័យគុណច្រើន។ ចំនុចសំខាន់នៃការអនុវត្តវិធីនេះគឺដំបូងយើងត្រូវពិនិត្យ លើលេខចុងក្រោយរបស់ a ថាតើវាគូឬសេស។ បើសិនជាលេខគូនោះយើងត្រូវប្រើរូបមន្តមួយណា? ខាងក្រោមនេះជាឧទាហរណ៍មួយចំនួនក្នុងការអនុវត្តន៍ៈ
ឧទាហរណ៍ 1 ចូររកពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=12^{25}
យើងមាន vk_1(12)=2 នោះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N ត្រូវបានកំណត់តាមរូបមន្តៈ
vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(60rx+76y)\biggl)
ដោយ 25=20\times 1+5\Rightarrow r=5; 12=100\times 0+12\Rightarrow x=1; y=2
ដូចនេះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=12^{25} កំណត់ដោយៈ
vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(2^4)\times vk_2(60.1.5+76.2)\biggl)=vk_2(16\times 52)=vk_2(832)=32
ដូចនេះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N គឺស្មើនឹង 32
ឧទាហរណ៍ 2 រកពីរលេខចុងក្រោយនៃ N=3333^{4444}
យើងមានៈ vk_1(3333)=3 នោះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N កំណត់តាមរូបមន្តៈ
vk_2(N)=vk_2\biggl(vk_2(y^{r-1})\times vk_2(10rx+y)\biggl)
ដោយ 4444=20.222+4\Rightarrow r=4 ; 3333=100.33+33\Rightarrow x=y=3
ដូចនេះយើងបានៈ
vk_2(N)=vk_2(vk_2(3^3).vk_2(10.4.3+3))=vk_2(27.23)=vk_2(621)=21
ដូចនេះពីរលេខចុងក្រោយនៃ N គឺស្មើនឹង 21
ចំណាំប្រសិនបើមិត្តអ្នកអានជួបលេខដែលមានសំនល់ r ច្រើន មិត្តអ្នកសិក្សាអាចប្រើរូបមន្ត vk_2(y^{r-1})=vk_2(y^{m+n+p+...})=vk_2(vk_2(y^m).vk_2(y^n).vk_2(y^p)....)
លំហាត់អនុវត្ត
១) រកពីរលេខចុងក្រោយនៃ 41^{14}; 78^{36}; 92^{2012}
២) ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ 3333^{4444}+12^{25}+3 ចែកដាច់នឹង 4 ។
អរគុណមិត្តអ្នកសិក្សាទាំងអស់ដែលខំចំណាយពេលស្វែងយល់នូវវិធីរកពីរលេខចុងក្រោយនេះ ។

Problem 299 គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

(vankhea) សន្មត់ថា a, b, c>0 ហើយ a^2+b^2+c^2=3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ

(a^3b^3+3c^3)(b^3c^3+3a^3)(c^3a^3+3b^3)\geq 64a^3b^3c^3

Problem 298 គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

(vankhea) គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a^2+b^2+c^2=3 ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\geq \frac{64}{27}(a+b+c)^3

solution problem 314

(vankhea) គេអោយ a, b, c, d ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
(3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)(3+d^3)\geq 4(a+b+c+d)^3
ចំលើយ
តាង \displaystyle a=x^{\frac{2}{3}}; b=y^{\frac{2}{3}};c=z^{\frac{2}{3}};d=t^{\frac{2}{3}}
នោះយើងទាញបានៈ
(3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)(3+d^3)=(3+x^2)(3+y^2)(3+z^2)(3+t^2)
យើងមានៈ
(3+x^2)(3+y^2)=9+3(x^2+y^2)+x^2y^2=1+x^2y^2+8+3(x^2+y^2) \geq 2xy+8+3(x^2+y^2) \displaystyle =8+(x+y)^2+2(x^2+y^2)
\displaystyle \Rightarrow (3+x^2)(3+y^2)\geq 8+2(x+y)^2=8(1+(\frac{x+y}{2})^2)
ដូចគ្នាដែរយើងទាញបានៈ \displaystyle (3+z^2)(3+t^2)\geq 8+2(z+t)^2=8(1+(\frac{z+t}{2})^2)
\displaystyle \Rightarrow (3+x^2)(3+y^2)(3+z^2)(3+t^2)\geq 64(1+(\frac{x+y}{2})^2)(1+(\frac{z+t}{2})^2)=64(1+u^2)(1+v^2)
ក្នុងនោះ \displaystyle u=\frac{x+y}{2} ; v=\frac{z+t}{2}
យើងមាន (1+u^2)(1+v^2)=1+u^2v^2+u^2+v^2\geq 2uv+u^2+v^2=(u+v)^2
\displaystyle \Rightarrow (3+x^2)(3+y^2)(3+z^2)(3+t^2)\geq 64\biggl(\frac{x+y}{2}+\frac{z+t}{2}\biggl)^2\displaystyle =64\biggl(\frac{x+y+z+t}{2}\biggl)^2
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ \displaystyle x+y+z+t=a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}+d^{\frac{3}{2}}\displaystyle \geq 4\biggl(\frac{a+b+c+d}{4}\biggl)^{\frac{3}{2}}
\Rightarrow (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)(3+d^3)\geq 4(a+b+c+d)^3
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។​ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=d=1

បើតាមលំនាំខាងលើតើមិត្តអ្នកសិក្សាសង្កេតឃើញអ្វីដែលប្លែកទេ? ការបំភាន់ភ្នែករវាងដឺក្រេក៏ជាសិល្បៈមួយក្នងគណិតវិទ្យាដែរ ហើយយើងក៏មិនដឹងថាពេលណាគេបំភាន់ភ្នែកយើងតាមរៀបនេះដែរ ដូចនេះខ្ញុំអាចឆ្លើយមួយយ៉ាងខ្លីថាមានតែអ្នកមានបទពិសោធន៍ទេ ទើបដឹងថាជំហាននៃលំហាត់នីមួយត្រូវដើរតាមផ្លូវណា? ការកំណត់ពីរបៀបស្រាយបញ្ជាក់វាមិនមែនដាច់ខាតនោះទេ យើងអាចរកវិធីថ្មីៗមកស្រាយលំហាត់ដែលមានស្រាប់ នេះក៏ជាស្នាដៃមួយដែលបណ្ដាអ្នកសិក្សាទាំងឡាយតែងកោតសរសើ។
ឥឡូវឆ្លងកាត់បទពិសោធន៍ខាងលើ តើមិត្តអ្នកអានអាចមានវិធីស្រាយវិសមភាពខាងក្រោមនេះទេ???
ចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c យើងបានៈ \displaystyle (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\geq \frac{64}{27}(a+b+c)^3 ???
ការពិតលំហាត់ខាងលើនេះខ្ញុំក៏មិនទាន់មានវិធីស្រាយបញ្ជាក់ដែរ។ ហើយវិសមភាពខាងលើខ្ញុំក៏មិនដឹងថាពិតឬមួយមិនពិតនោះដែរ នេះជាសំណើរមួយសំរាប់អ្នកសិក្សាស្វែងយល់ និងត្រិះរិះ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាខ្ញុំអាចទទួលបានយោបល់ខ្លះៗពីមិត្តអ្នកសិក្សាទាំងអស់គ្នា។

Problem 332 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

សន្មត់ថា a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ abc=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\leq 64\biggl(\frac{a+b+c}{3}\biggl)^9
សំរាយបញ្ជាក់
អនុវត្តវិសមភាព AM-GM យើងមានៈ
\displaystyle (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\leq \biggl(\frac{a^3+b^3+c^3+9}{3}\biggl)^3\displaystyle =\biggl(\frac{a^3+b^3+c^3+9abc}{3}\biggl)^3
ដោយ a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយនោះយើងបានៈ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq \frac{39}{5}}
យក k=9 នោះយើងបាន
\displaystyle a^3+b^3+c^3+9abc\leq \frac{4}{9}(a+b+c)^3
\displaystyle \Rightarrow (3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\leq \biggl(\frac{\frac{4}{9}(a+b+c)^3}{3}\biggl)^3\displaystyle =64\biggl(\frac{a+b+c}{3}\biggl)^9
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=1
ចំនុចសំខាន់នៃលំហាត់នេះគឺត្រូវស្រាយវិសមភាព \displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq \frac{39}{5}} ដោយរបៀបណា???
យក \displaystyle k=\frac{39}{5} នោះវិសមភាពដែលត្រូវស្រាយគឺ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+\frac{39}{5}abc\leq \frac{2}{5}(a+b+c)^3 (1)
ដោយ a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយនោះយើងបានៈ
\displaystyle x=\frac{b+c-a}{2}>0; y=\frac{c+a-b}{2}>0; z=\frac{a+b-c}{2}>0
ទាញរកតំលៃ a, b, c យើងបានៈ a=x+y; b=y+z; c=z+x
ជំនួសចូលវិសមភាព (1) យើងបានៈ
\displaystyle (x+y)^3+(y+z)^3+(z+x)^3+\frac{39}{5}(x+y)(y+z)(z+x)\displaystyle \leq \frac{2}{5}(2(x+y+z))^3
\displaystyle \Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) ពិតជានិច្ចព្រោះវាជាវិសមភាព Schur ដឺក្រេទី ៣ ។
សមភាពកើតមានពេល a=b=c

ចំនុចសំខាន់ៗដែលត្រូវចងចាំនិងចំនុចដែលប្អូនៗជំនាន់ក្រោយត្រូវបន្តស្រាវជ្រាវរកនូវចំនុចមិនទាន់មានៈ

ចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c នោះយើងបានវិសមភាពខាងក្រោមៈ
វិសមភាពដែលមានហើយ
\bigstar \displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\geq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\leq \frac{15}{4}}
\bigstar \displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq 24}
ចុះបើសិនតំលៃ \displaystyle \frac{15}{4}<k<24 វិញ??
តើគ្រប់តំលៃ \displaystyle k\geq \frac{15}{4} វិសមភាព \displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 សុទ្ទតែពិតឬយ៉ាងណា?
ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់លើចំងល់មួយនេះ ខ្ញុំលើកយកចំនុចមួយដែលមានលទ្ទផលកាន់តែជាក់ស្ដែងទៀតគឺ បើសិនជា a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយនោះយើងបានវិសមភាព\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ; \forall{k\geq \frac{39}{5}}
សំនួរសួរទៅមិត្តអ្នកអានថាតើតំលៃ k ល្អបំផុតដែលធ្វើអោយវិសមភាព\displaystyle a^3+b^3+c^3+kabc\leq \frac{k+3}{27}(a+b+c)^3 ស្មើនឹងប៉ុន្មាន???

ដូចនេះចំនុចមួយនេះខ្ញុំទុកនាទីអោយមិត្តអ្នកអានធ្វើការស្រាវជ្រាវបន្ត ។

Problem 331 vankhea គណិតវិទ្យាសំរាប់សិស្សពូកែ

សន្មត់ថា a, b, c>2 ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ abc=125. ស្រាយបញ្ជាក់ថា
\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a-2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b-2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c-2}}\geq \sqrt[3]{9}
សំរាយបញ្ជាក់
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{a-2}{3}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{b-2}{3}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{c-2}{3}}}\geq 3
តាង \displaystyle x=\sqrt[3]{\frac{a-2}{3}};y=\sqrt[3]{\frac{b-2}{3}};z=\sqrt[3]{\frac{c-2}{3}}
យើងទាញបានៈ \displaystyle a=3x^3+2;a=3y^3+2;a=3z^3+2
ដោយ abc=125 នោះយើងបាន (3x^3+2)(3y^3+2)(3z^3+2)=125
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3
តាមវិសមភាព Mahler យើងមានៈ
\sqrt[3]{(3x^3+2)(3y^3+2)(3z^3+2)}\geq \sqrt[3]{3x^3.3y^3.3z^3}+\sqrt[3]{2.2.2}
\Rightarrow \sqrt[3]{125}\geq 3xyz+2\Rightarrow xyz\leq 1
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាចំពោះ xyz\leq 1 នោះយើងបានៈ xy+yz+zx\geq 3xyz
តាមវិសមភាព AM-GM យើងមាន xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមាន 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\geq 3xyz\Leftrightarrow xyz\leq 1 ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=5