ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI NĂM 2012 Đại học Kiên Trúc Hà Nội

Câu I Cho dãy số x_n ; (n=1, 2, 3, ...,n) được xác định như sau:
\displaystyle x_1=2; x_{n+1}=\frac{2}{1+x_n^2} ; n=1, 2, 3,...
Chứng minh rằng dãy số trên hội tụ và tìm \displaystyle \lim_{x\to +\infty}x_n
Câu II
1) Tính a) \displaystyle lim_{x\to 1}(e^{x-1}+x-2)^{\frac{1}{ln(2-x)}} ; b) \displaystyle \int x^2e^xsin^2xdx
2) Cho hàm số f(x) được xác định và có đạo hàm trên R sao cho f^2(1+2x)+f^3(1-x)=x; \forall{x\in R}
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ là 1.
Câu III
1) Cho hàm số f:R\rightarrow R khả vì đến cấp n+1 trên (0, 1)(a, b)\subset R^2 sao cho \displaystyle ln\biggl(\frac{f(b)+f'(b)+...+f^{(n)}(b)}{f(a)+f'(a)+...+f^{(n)}(a)}\biggl)=b-a
Chứng minh rằng tồn tại c\in (a, b) sao cho f^{(n+1)}(c)=f(c)
2) Cho hàm số f(x) liên tục trên [a, b], a>0 khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng tồn tại x_1, x_2, x_3 sao cho
\displaystyle f'(x_1)=(a+b)\frac{f'(x_2)}{4x_2}+(a^2+ab+b^2)\frac{f'(x_3)}{6x_3^2}
Câu IV
1) Tìm tất cả các hàm \displaystyle f:R-\{\frac{1}{3}\}\rightarrow R và thỏa mãn các điều kiện
\displaystyle f(x)+f\biggl(\frac{1-x}{1-3x}\biggl)=x; x\neq \frac{1}{3}
2) Tìm tất cả các hàm số f:R\rightarrow R và thỏa mãn các điều kiện
f((x-y)^2)=x^2-2yf(x)+(f(y))^2; \forall{x, y\in R}

Advertisements

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: