Problem 312 Crux

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c មានផលបូលស្មើនឹង 3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{1}{9-ab}+\frac{1}{9-bc}+\frac{1}{9-ca}\leq \frac{3}{8}

Problem 311 Moldova TST 2005

ស្រាយបញ្ជាក់ថាបើ a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានហើយ a^4+b^4+c^4=3 នោះគេបានៈ
\displaystyle \frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1

Problem 310 vankhea

គេអោយ a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ស្រាយថាៈ
(a^2+b^2)^2+(b^2+c^2)^2+(c^2+a^2)^2\geq 4(a^3b+b^3c+c^3a)
សំរាយបញ្ជាក់ៈ
យើងមានៈ (a-b)^2\geq 0\Rightarrow a^2+b^2\geq 2ab
គុណអង្គទាំងពីរនឹង 2a^2 នោះយើងបានៈ
2a^4+2a^2b^2\geq 4a^3b
ដូចគ្នាដែរយើងបានៈ
2b^4+2b^2c^2\geq 4b^3c
2c^4+2c^2a^2\geq 4c^3a
បូកអង្គនឹងអង្គនៃវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
2(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq 4(a^3b+b^3c+c^3a)
\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2+(b^2+c^2)^2+(c^2+a^2)^2\geq 4(a^3b+b^3c+c^3a)

Problem 309 van khea

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ a+b+c=3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}+\sqrt{1+c^4}\leq \sqrt{2}(a^2+b^2+c^2)
សំរាយបញ្ជាក់
ជាដំបូងយើងត្រូវស្រាយថា \sqrt{1+a^4}\leq \sqrt{2}(a^2-a+1)
\displaystyle \Leftrightarrow (a^2-a+1)^2\geq \frac{1}{2}(1+a^4)
គុណអង្គទាំងពីរនឹង (1+a)^2 នោះយើងបានៈ
\displaystyle (a^2-a+1)^2(1+a)^2\geq \frac{1}{2}(1+a^4)(1+a)^2
\displaystyle \Leftrightarrow (1+a^3)^2 \geq \frac{1}{2}(1+a^4)(1+a)^2
\displaystyle \Leftrightarrow a^6+1+2a^3\geq \frac{1}{2}(1+a^4)(1+a)^2
\displaystyle \Rightarrow a^6+1+a^2(1+a)^2\geq a^2(1+a^2)+\frac{1}{2}(1+a^4)(1+a)^2
ចែកអង្គទាំងពីរនឹង \displaystyle \frac{(1+a)^6}{8} នោះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{8a^6}{(1+a)^6}+\frac{8}{(1+a)^6}+\frac{8a^2}{(1+a)^4}\geq \frac{8a^2(1+a^2)}{(1+a)^6}+\frac{4(1+a^4)}{(1+a)^4}
តាង \displaystyle x=\frac{2a^2}{(1+a)^2}; y=\frac{2}{(1+a)^2} នោះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
x^3+y^3+2xy\geq xy(x+y)+x^2+y^2
x^3-x^2+y^3-y^3+2xy-xy(x+y)\geq 0
x^2(x-1)+y^2(y-1)-xy(x-1)-xy(y-1)\geq 0
x(x-1)(x-y)+y(y-1)(y-x)\geq 0
(x-1)^2(x+y-1)\geq 0
ដោយ \displaystyle \frac{1+a^2}{2}\geq (\frac{1+a}{2})^2\Leftrightarrow \frac{2a^2}{(1+a)^2}+\frac{2}{(1+a)^2}\geq 1\Rightarrow x+y\geq 1
ដូចនេះយើងបានៈ (x-1)^2(x+y-1)\geq 0 ពិតជានិច្ច។
ដូចគ្នាដែរយើងបាន \sqrt{1+b^4}\leq \sqrt{2}(b^2-b+1) និង \sqrt{1+c^4}\leq \sqrt{2}(c^2-c+1)
បូកអង្គនិងអង្គនៃវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}+\sqrt{1+c^4}\leq \sqrt{2}(a^2+b^2+c^2+3-a-b-c)
ដូចនេះយើងបាន \sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}+\sqrt{1+c^4}\leq \sqrt{2}(a^2+b^2+c^2) ពិតជានិច្ច។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=1

Problem 307 van khea

ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះបណ្ដាចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b គេបានៈ
\displaystyle (a^3+b^3)^2\geq \frac{1}{2}(a^4+b^4)(a+b)^2

download answer