Problem 305 Van Khea

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a^2, b^2, c^2 ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយហើយ a^2+b^2+c^2=3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
3(a+b+c)\geq 4abc+5
សំរាយបញ្ជាក់
អនុវត្តន៍វិសមភាព 254VanKhea យើងមានៈ
(a^2+b^2+c^2)^2+3abc(a+b+c)\leq 3ab(a^2+b^2)+3bc(b^2+c^2)+3ca(c^2+a^2)
ដោយ a^2+b^2+c^2=3 នោះយើងបានៈ
9+3abc(a+b+c)\leq 3ab(3-c^2)+3bc(3-a^2)+3ca(3-b^2)
\displaystyle \Leftrightarrow ab+bc+ca\geq \frac{2}{3}abc(a+b+c)+1
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle ab+bc+ca=\frac{1}{2}(a+b+c)^2-\frac{3}{2} នោះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c)^2-\frac{3}{2}\geq \frac{2}{3}abc(a+b+c)+1
\displaystyle \Rightarrow (a+b+c)^2\geq \frac{4}{3}abc(a+b+c)+5
ចែកអង្គទាំងពីរនឹង a+b+c យើងបានៈ
\displaystyle a+b+c\geq \frac{4}{3}abc+\frac{5}{a+b+c}
តាមវិសមភាព Cauchy-Schwarz យើងមានៈ
(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)=9
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}
នោះយើងទាញបានៈ
\displaystyle a+b+c\geq \frac{4}{3}abc+\frac{5}{3}
\Rightarrow 3(a+b+c)\geq 4abc+5 ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=1

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: