របៀបរកអនុគមន៍ |f(x).f(x+T)|=a; a>0

អនុគមន៍ខាងលើគឺវាស្ថិតនៅក្នុងប្រភេទអនុគមន៍ខួប ហើយអនុគមន៍ខួបទាំងនេះគឺមានលក្ខណៈពិសេសរបស់វានៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ ហើយនៅទីនេះដែរដើម្បីកុំអោយមិត្តអ្នកសិក្សាយល់ច្រឡំលើផ្នែកមួយចំនួននៃការសន្និដ្ឋានខុសទៅលើអនុគមន៍ខួប ខ្ញុំនឹងលើកយកនូវឧទាហរណ៍ជាកស្ដែងមួយចំនួនដែលកើតមានឡើងក្រោយពីខ្ញុំបានគិតនិងស្រាយបញ្ជាក់ឆ្ពោះទៅរកភាពទូទៅមួយនៃអនុគមន៍។ ខ្ញុំគិតដែរថាប្រហែលជាខ្ញុំកំពុងដើរលើគំនិតវង្វេងមួយក្នុងគណិតវិទ្យា ព្រោះថាការគិតរបស់ខ្ញុំគឺស្រាប់តែមានភាពផ្ទុយគ្នាជាច្រើន ហើយខ្ញុំក៏កំពុងបន្តរកភាពច្រឡូកច្រឡំគ្នាទាំងនោះអោយមានភាពពិតប្រាកដ។ ដូចនេះខ្ញុំសង្ឃឹមថានឹងទទួលបានមតិខ្លះៗពីបណ្ដាមិត្តអ្នកអាននៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដើម្បីជាផ្លូវមួយសំរាប់ខ្ញុំគិតបន្ថែមរាល់ចំនុចដែលអាចកើតមានឡើងនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។
ឥឡូវឈានចូលដល់វិធីរកអនុគមន៍ខាងលើវិញម្ដង អនុគមន៍ខាងលើត្រូវបានចាត់ចូលជាអនុគមន៍ខួបដែរតែគ្រាន់តែវាមានរាងខុសទៅនឹងអនុគមន៍ខួបមួយចំនួនដែលគេតែងតែសរសេរថា f(x)=f(x+T) ។ ការពិតរាងរបស់អនុគមន៍ខួប f(x)=f(x+T) ជារាងទូទៅបំផុតហើយវាក៏ជាមូលដ្ឋានមួយសំរាប់អោយយើងសិក្សាផងដែរ។ ចំនែកអនុគមន៍ខួប |f(x).f(x+T)|=a គឺជាប្រភេទអនុគមន៍ខួបអ៊ិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
របៀបរកគឺគ្រាន់តែបំពាក់លោការីតលើអង្គសងខាងយើងនឹងបានៈ
យើងមានៈ \displaystyle |f(x).f(x+T)|=a\Rightarrow \biggl|\frac{f(x)}{\sqrt{a}}\biggl|.\biggl|\frac{f(x+T)}{\sqrt{a}}\biggl|=1
តាង \displaystyle g(x)=\biggl|\frac{f(x)}{\sqrt{a}}| នោះយើងបានៈ
\displaystyle |g(x)||g(x+T)|=1
\Rightarrow ln|g(x)||g(x+T)|=0
\Leftrightarrow ln|g(x)|+ln|g(x+T)|=0
តាង h(x)=ln|g(x)| យើងបានៈ
h(x)+h(x+T)=0 ដោះស្រាយរកអនុគមន៍ h(x) រួចជំនួសចូលសមីការដើមបើវាផ្ទៀងផ្ទាត់នោះវាចំលើយមួយក្នុងចំនោមចំលើយ។
ក្រោយពេលដែលខ្ញុំបានរកនូវវីធីកំណត់អនុគមន៍ខួបតាមបែបរាងទូទៅ ខ្ញុំសង្កេតឃើញថាអនុគមន៍អនុគមន៍ខួបអាចរកបានចំលើយយ៉ាងងាយមួយ តែចំលើយនោះវាបានត្រឹមតែផ្ទៀងផ្ទាត់ទៅនឹងតំលៃដែលយើងបំលែងតៗគ្នា ហើយវាមិនផ្ទៀងផ្ទាត់ទៅនឹងសំណើរដើមរបស់លំហាត់ទេ។ ចំពោះបញ្ហាមួយនេះខ្ញុំបានគិតអស់ច្រើនថ្ងៃហើយ ហើយក៏មិនទាន់ទាញបានលទ្ធផលទូទៅមួយបានដែរ។ ហើយខ្ញុំនឹងខិតខំប្រឹងប្រែងរកបន្តទៀតនូវរាល់វិធីផ្សេងៗដែលអាចកំណត់វាបាន។
ឧទាហរណ៍ រកអនុគមន៍ f:R^{+}\rightarrow R^{+} ផ្ទៀងផ្ទាត់
f(x).f(x+1)=1
ចំលើយ
តាមវិធានខាងលើយើងបាន lnf(x)f(x+1)=0\Leftrightarrow lnf(x)+lnf(x+1)=0
តាង g(x)=lnf(x) នោះយើងបាន g(x)+g(x+1)=0
យើងអាចរកបានចំលើយមួយក្នុងចំនោមចំលើយងាយនៃអនុគមន៍ g(x)+g(x+1)=0 គឺៈ
g(x)=acos(2k+1)\pi x+bsin(2p+1)\pi x
ព្រោះ g(x+1)=-g(x) មិត្តអ្នកអានសាកល្បងដោយខ្លួនឯង។
ដូចនេះយើងទាញបានៈ \displaystyle f(x)=e^{acos(2k+1)\pi x+bsin(2p+1)\pi x}
ជំនួសចូលក្នុងសមីការដើមយើងបានចំលើយខាងលើផ្ទៀងផ្ទាត់។
ដូចនេះអនុគមន៍ f(x)=e^{acos(2k+1)\pi x+bsin(2p+1)\pi x} ជាចំលើយងាយមួយនៃសំណើរខាងលើ។
កំណត់ចំណាំ៖
បើសិនជាយើងជ្រើសរើសយកវិធីខាងក្រោមមកស្រាយនោះយើងនឹងត្រូវសន្និដ្ឋានបែបណា?
យើងមាន \displaystyle f(x)f(x+1)=1\Rightarrow f(x)=\frac{1}{f(x+1)}
ជំនួស x ដោយ x+1 នោះយើងបានៈ \displaystyle f(x+1)=\frac{1}{f(x+2)}\Rightarrow f(x+2)=\frac{1}{f(x+1)}
ដូចនេះយើងទាញបាន f(x)=f(x+2) យើងឃើញថា f(x) ជាអនុគមន៍ខួបដែលមានខួបស្មើនឹង 2 ។
មានច្រើនរាប់មិនអស់សំរាប់អនុគមន៍ដែលមានខួបស្មើនឹង 2 តែអនុគមន៍ទាំងនោះមិនមែនសុទ្ធតែផ្ទៀងផ្ទាត់ទៅនឹងសំណើរដើមនៃអនុគមន៍នោះទេ។
ដូចជា f(x)=f(x+2) គឺវាមានចំលើយងាយមួយក្នុងចំនោមចំលើយងាយគឺ f(x)=acos(2k+1)\pi x+bsin(2p+1)\pi x តែចំលើយងាយនេះមិនផ្ទៀងផ្ទាត់នឹងសមីការដើម។
នៅត្រង់ចំនុចនេះខ្ញុំកំពុងរុករកនូវចំនុចរួមបំផុតរបស់វាហើយ តែមិនទាន់មានលទ្ធផលអីទេ។
លំហាត់បន្ថែមៈ
1) រកអនុគមន៍ f:R^{+}\rightarrow R^{+} ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x)f(x+2)=f^2(x+1); \forall{x\in N}
2) រកអនុគមន៍ f:R^{+}\rightarrow R^{+} ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x).f(x+2)=x(x+2), x\in R^{+}
3) រកអនុគមន៍ f:R^{+}\rightarrow R^{+} ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x)+f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=x, x\in R^{+}
បញ្ចេញមតិមួយរបស់ដើម្បីបំភ្លឺផ្លូវដល់ខ្ញុំ ក៏ដូចជាលើកស្ទួយវិស័យគណិតវិទ្យាខ្មែរដែរ😀

2 Responses to របៀបរកអនុគមន៍ |f(x).f(x+T)|=a; a>0

  1. vankhea និយាយថា ៖

    ដោយសារសិចម៉ាបន្តគ្នាដូចនេះខ្ញុំបានរកឃើញចំលើយពិសេសមួយទៀតខ្ញុំនឹងសរសេរលំអិតនៅពេលក្រោយ😀

  2. vankhea និយាយថា ៖

    ចំលើយងាយមួយទៀតគឺ f(x+k)=(a(x))^{(-1)^k}; k\in N

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: