Problem 307 van khea : inequality

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ abc=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{1}{a\sqrt{1+3b}}+\frac{1}{b\sqrt{1+3c}}+\frac{1}{c\sqrt{1+3a}}\geq \frac{3}{2}
គំនិតគួរពិចារណា!!!
លំហាត់វិសមភាពដែលស្គាល់ផលគុណដូចខាងលើ ភាគច្រើននៃលំហាត់គឺប្រើវិសមភាព AM-GM តែនៅទីនេះយើងមិនអាចប្រើវាកើតទេ
ព្រោះថាភាគបែងជាផលបូក ដូចនេះបើសិនជាអ្នកជួបលំហាត់បែបនេះអ្នកត្រូវបំលែងវាអោយទៅជាវិសមភាពថ្មីមួយទៀតដែលមាន
លក្ខណៈសមញ្ញវិញ។ កុំព្យាយាមអនុវត្តន៍ទាំងកំរោលគឺវានឹងធ្វើអោយអ្នកបាត់បង់នូវពេលវេលាស្រាវជ្រាវ។ ខ្ញុំមានលំហាត់មួយចំនួន
សុទ្ធតែបញ្ជាក់ពីការតាងរបស់វាទៅតាមប្រភេទលំហាត់ ហើយខ្ញុំក៏បានសរសេរវាដាក់នៅទីនេះជាច្រើនលំហាត់ហើយដែរ ហើយថ្ងៃនេះ
ខ្ញុំនឹងយកលំហាត់មួយនេះមកចែកជូនមិត្តអ្នកស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាទាំងអស់ជាចំណេះដឹងថ្មីៗ 😀
សំរាយបញ្ជាក់
តាង \displaystyle a=\frac{1}{x}; b=\frac{1}{y}; c=\frac{1}{z}\Rightarrow xyz=1
ជំនួសចូលវិសមភាពខាងលើយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{y+3}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{z+3}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}}\geq \frac{3}{2}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ \displaystyle \frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{y+3}}=\frac{\sqrt{x}.\sqrt{xy}}{\sqrt{y+3}}=\sqrt{\frac{x}{z(y+3)}} ព្រោះ \displaystyle xyz=1\Rightarrow xy=\frac{1}{z}
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ \displaystyle \sqrt{\frac{x}{z(y+3)}}+\sqrt{\frac{y}{x(z+3)}}+\sqrt{\frac{z}{y(x+3)}}\geq \frac{3}{2}
តាង x=u^3; y=v^3; z=w^3\Rightarrow uvw=1 ជំនួសចូលវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
\displaystyle \sqrt{\frac{u^3}{w^3(v^3+3)}}+\sqrt{\frac{v^3}{u^3(w^3+3)}}+\sqrt{\frac{w^3}{v^3(u^3+3)}}\geq \frac{3}{2}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ \displaystyle \sqrt{\frac{u^3}{w^3(v^3+3)}}=\frac{u^{\frac{3}{2}}}{w.w^{\frac{1}{2}}\sqrt{v^3+3}}=\frac{u^{\frac{3}{2}}\sqrt{uv}}{w\sqrt{v^3+3}}=\frac{u^2}{w\sqrt{\frac{v^3+3}{v}}}\displaystyle =\frac{u^2}{w\sqrt{v^2+3wu}}
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន u, v, w; (uvw=1) គេបានៈ
\displaystyle \frac{u^2}{w\sqrt{v^2+3wu}}+\frac{v^2}{u\sqrt{w^2+3uv}}+\frac{w^2}{v\sqrt{u^2+3vw}}\geq \frac{3}{2}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(u^2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{u^2v^2w^2+3(wu)^3}}+\frac{(v^2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{u^2v^2w^2+3(uv)^3}}+\frac{(w^2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{u^2v^2w^2+3(vw)^3}}\displaystyle \geq \frac{3}{2}
ដោយ \displaystyle \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1 នោះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{(u^2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{u^2v^2w^2+3(wu)^3}}+\frac{(v^2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{u^2v^2w^2+3(uv)^3}}+\frac{(w^2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{u^2v^2w^2+3(vw)^3}}\displaystyle \geq \frac{(u^2+v^2+w^2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{3((uv)^3+(vw)^3+(wu)^3+u^2v^2w^2)}}
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ \displaystyle \frac{(u^2+v^2+w^2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{3((uv)^3+(vw)^3+(wu)^3+u^2v^2w^2)}}\geq \frac{3}{2}

Advertisements

2 Responses to Problem 307 van khea : inequality

  1. oak.panha says:

    បើតាមឱ្យខ្ញុំដោះស្រាយ ខ្ញុំនឹងចាប់ផ្តើមពី ឱ្យ F(x)=0, ដាក់លក្ខណ៍ រួចចាប់ផ្តើមបំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគ បែងដោយយករឹងនៃ ពហុធានីមួយៗ គុណនឹងកន្សោម ឆ្លាប់ ទុកមេគុណនៅដដែរ តាមទម្រង់ (a+b)(a-b)=a^2+b^2។ ហើយដោះស្រាយជា បន្តបន្ទាប់។ ប៉ុន្តែក្រែងមានកំហុស ត្រង់ចំណុចណា សូមរាមច្បងជួយ បង្ហាត់បង្ហាញ ព្រោះតាមមើល លំហាត់នេះ ប្រហែលជាមានវិធី ពិសេស ឬទម្រង់ណា មួយសម្រាប់ដោះ ស្រាយហើយ។ 🙂

    • vankhea says:

      ចំពោះវិធីសាស្ត្រខាងលើ ខ្ញុំអត់ចេះធ្វើទេ តែខ្ញុំមានវិធីសំរាប់របស់ខ្ញុំ ហើយវារាងស្មុគស្មាញបន្តិចដែរ។ តើអាចបង្ហាញខ្លះៗពីការគុណឬសនីមួយៗដែលបានលើកឡើងខាងលើបានទេ ?

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: