សេចក្ដីជូនដំណឹង

សុំទោសចំពោះបណ្ដាប្រិយមិត្តដែលបានគាំទ្រលើប្លកខ្ញុំកន្លងមក ដោយសារថ្មីៗនេះជំងឺខ្ញុំវាបានធ្វើទុក្ខកាន់តែធ្ងន់ឡើងៗ ដូចនេះខ្ញុំមិនបានផុសនូវចំណេះដឹងថ្មីៗជូនដល់ប្រិយមិត្តទាំងអស់ទេ។ ហើយខ្ញុំប្រហែលជាត្រូវផ្អាកការផុសមួយរយៈព្រោះថាបើតាមជំងឺខ្ញុំសព្វថ្ងៃ គឺខ្ញុំមិនអាចគិតរកនូវចំណេះដឹងថ្មីៗជូនដល់ប្រិយមិត្តទេ។ ខ្ញុំជូនដំណឹងជាមុនដូចនេះព្រោះដើម្បីកុំអោយប្រិយមិត្តចំណាយពេលមកលេងប្លកខ្ញុំហើយមិនមានអ្វីដែលថ្មីៗ ធ្វើអោយមានអារម្មណ៍អាក់ខានផ្សេងៗ ។ ខ្ញុំសន្យាថាក្រោយពេលជំងឺខ្ញុំជាសះស្បើយខ្ញុំនឹងបន្តរកនូវចំណេះដឹងថ្មីៗជូនដល់ប្រិយមិត្តទៀត។

​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ពីខ្ញុំម្ចាស់ប្លក វ៉ាន់ ឃា

Books: China girls math olympiad (2002-2009)

china girls math olympiad

របៀបរកមួយលេខចុងក្រោមសម័យថ្មី

នេះជាការកំសាន្តនៅក្នងគណិតវិទ្យាមួយដែលតំរូវអោយយើងរកលេខចុងក្រោយនៃស្វ័យគុណ។ បើតាមខ្ញុំដឹងសំរាប់អ្នកដែលឈានជើងចូលស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យា អ្នកណាក៏ចេះរកដែរបើត្រឹមតែមួយលេខចុងក្រោយ។ តែដោយឡែកថ្ងៃនេះខ្ញុំនឹងលើកយកវិធីកំសាន្តមួយបែបដែលអាចគណនាមួយលេខចុងក្រោយបានលឿនបំផុត វាជាវិធីមួយដែលខ្ញុំបានតែងឡើងនៅក្នុងឆ្នាំ 2005-2006 ។
តើវាមានលក្ខណៈបែបណាទៅ? ចូរតាមដានជាមួយខ្ញុំដូចខាងក្រោមៈ
សំនួរៈ ចូររកមួយលេខចុងក្រោយនៃ N=a^n; \forall{n, a\in \mathbb{N}}\&an\neq 0
ចូរពិនិត្យម្ដងមួយៗតាមជំហានរបស់ខ្ញុំដូចខាងក្រោមៈ
តាង vk_i(N) ជា i លេខចុងក្រោយនៃ N
ឧទាហរណ៍ vk_1(243)=3; vk_2(9234)=34, vk_3(25486)=486
សរសេរ n=4k+r; k, r\in \mathbb{N}; r=\{1, 2, 3, 4\}
បន្ទាប់មកសរសេរ a=10p+x; p, x\in \mathbb{N}
នោះយើងបាន vk_1(N)=vk_1(x^r)
សំរាយបញ្ជាក់
យើងពិនិត្យលើបណ្ដាករណីពិសេសនៃលេខមួយចំនួនដូចខាងក្រោមៈ
បើ x=\{0, 1, 5, 6\} នោះមួយលេខចុងក្រោយនៃ N គឺស្មើនឹង \{0, 1, 5, 6\}
ដូចនេះយើងបាន vk_1(N)=vk_1(x^r) ពិតជានិច្ច។
បន្ទាប់មកយើងពិនិត្យករណី x=\{2, 3, 4, 7, 8, 9\}
យើងមាន N=a^n=(10p+x)^n=x^n(mod10)
ឬយើងអាចសរសេរថា vk_1(N)=vk_1(x^n)
ដោយ n=4k+r; r\neq 0 នោះយើងបានៈ
vk_1(N)=vk_1(x^{4k+r})=vk_1(vk_1(x^{4k}).vk_1(x^r))
ករណី x=\{3, 7, 9\} នោះយើងបានៈ vk_1(x^{4k})=1 ព្រោះ 3^4=81, 7^4=2401, 9^4=6561
ដូចនេះយើងទាញបានៈ vk_1(N)=vk_1(1.vk_1(x^r))=vk_1(x^r) ពិតជានិច្ច។
ករណី x=\{2, 4, 8\} នោះយើងបានៈ vk_1(x^{4k})=6 ព្រោះថា 2^4=16; 4^4=256, 8^4=4096
ដូចនេះយើងទាញបានៈ vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(x^r))
យើងពិភាក្សាម្ដងមួយករណីដូចខាងក្រោមៈ
បើ x=2; r=\{1, 2, 3, 4\} នោះយើងនឹងបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោមៈ
ចំពោះ r=1 នោះយើងបានៈ vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(2^1))=vk_1(6.2)=2=vk_1(2^1) ពិត
ចំពោះ r=2 នោះយើងបានៈ vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(2^2))=vk_1(6.4)=4=vk_1(2^2) ពិត
ចំពោះ r=3 នោះយើងបានៈ vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(2^3))=vk_1(6.8)=8=vk_1(2^3) ពិត
ចំពោះ r=4 នោះយើងបានៈ vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(2^4))=vk_1(6.6)=6=vk_1(2^4) ពិត
បើ x=4; r=\{1, 2, 3, 4\} នោះយើងនឹងបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោមៈ
ចំពោះ r=1 នោះយើងបានៈ vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(4^1))=vk_1(6.4)=4=vk_1(4^1) ពិត
ចំពោះ r=2 នោះយើងបានៈ vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(4^2))=vk_1(6.6)=6=vk_1(4^2) ពិត
ចំពោះ r=3 នោះយើងបានៈ vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(4^3))=vk_1(6.4)=4=vk_1(4^3) ពិត
ចំពោះ r=4 នោះយើងបានៈ vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(4^4))=vk_1(6.6)=6=vk_1(4^4) ពិត
បើ x=8; r=\{1, 2, 3, 4\} នោះយើងនឹងបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោមៈ
ចំពោះ r=1 នោះយើងបានៈ vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(8^1))=vk_1(6.8)=8=vk_1(8^1) ពិត
ចំពោះ r=2 នោះយើងបានៈ vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(8^2))=vk_1(6.4)=4=vk_1(8^2) ពិត
ចំពោះ r=3 នោះយើងបានៈ vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(8^3))=vk_1(6.2)=2=vk_1(8^3) ពិត
ចំពោះ r=4 នោះយើងបានៈ vk_1(N)=vk_1(6.vk_1(8^4))=vk_1(6.6)=6=vk_1(8^4) ពិត

ដូចនេះយើងឃើញថាសំនើរត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ ដូចនេះយើងកំនត់វិធីរកមួយលេខចុងក្រោយដោយខ្លីគឺៈ
vk_1(N)=vk_1(x^r) ដែល n=4k+r; k, r\in \mathbb{N}; r=\{1, 2, 3, 4\} និង a=10p+x; p, x\in \mathbb{N}

ឧទាហរណ៍១ ចូររកមួយលេខចុងក្រោយនៃ 18^{12}
ចំលើយ
យើងមាន 12=4.2+4\Rightarrow r=4 ហើយ 18=10.1+8\Rightarrow x=8
ដូចនេះយើងបាន vk_1(18^{12})=vk_1(8^4)=vk_1(4096)=6
ឧទាហរណ៍២ រកមួយលេខចុងក្រោយនៃ 33^{22}
ចំលើយ
យើងមាន 22=4.5+2\Rightarrow r=2 ហើយ 33=10.3+3\Rightarrow x=3
ដូចនេះយើងបានៈ vk_1(33^{22})=vk_1(3^2)=9
សំរាប់វិធីរកពីរលេខនិងបីលេខចុងក្រោយតាមសម័យថ្មីសូមលើកយកមកចែកជូនតែត្រឹមនេះ។ មិត្តអ្នកអានអាចដោនឡូដសៀវភៅខាងក្រោមៈ
របៀបរកលេខចុងក្រោយតាមវ៉ាន់ ឃា

របៀបរកអនុគមន៍ f(x+T)=f(x)+a

ចំពោះរាល់វិធីសាស្រ្ដដែលខ្ញុំបានលើកឡើងកន្លងមកគឺវាស្ថិតក្នុងគំរោងមួយដែលខ្ញុំកំពុងតែរៀបចំ ហើយអ្វីៗដែលខ្ញុំបានដាក់ផុសនៅលើផ្ទាំងវែបសាយថ៍នេះគឺគ្រាន់តែជាគំនិតមួយសំរាប់មិត្តអ្នកអានស្វែងយល់បន្ថែមប៉ុន្នោះ។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថានឹងមានយោបល់ខ្លះៗពីសំណាក់មិត្តអ្នកអានគណិតវិទ្យាទាំងអស់ ព្រោះថាខ្ញុំប្រើខួរក្បាលគិតតែម្នាក់ឯងវាប្រាកដជាមានខ្វះចន្លោះច្រើន ដែលតំរូវអោយមិត្តអ្នកអានជួយបំពេញបន្ថែមដើម្បីអោយវិធីសាស្រ្ដនីមួយៗ ឈានទៅរកភាពទូទៅហើយអាចប្រើការបាននៅលើពិភពលោក។
សំរាប់ថ្ងៃនេះខ្ញុំនឹងលើយកប្រភេទនៃអនុគមន៍ដែលមានរាង f(x+T)=f(x)+a
សំនួរៈ ចូរកំណត់បណ្ដាឬសងាយនៃអនុគមន៍ f:R\rightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ f(x+T)=f(x)+a; \forall{x, T, a\in R}
ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងការកំណត់អនុគមន៍ខាងលើ យើងត្រូវបំលែងអោយចូលទៅក្នុងអនុគមន៍ខួបទើបងាយដោះស្រាយ។ ដូចនេះយើងអាចឧបមាថាអនុគមន៍ f ជាអនុគមន៍មានដេរីវេទីមួយលើ R នោះយើងអាចធ្វើដេរីវេលើអង្គទាំងសងខាងធៀបនឹងអថេរ x នោះយើងទទួលបានអនុគមន៍ខួបហើយ។
យើងឃើញថាបើយើងដេរីវេលើអង្គទាំងពីរធៀបនឹងអថេរ x នោះយើងបានៈ
f'(x+T)=f'(x); x, T\in R
សរសេរអនុគមន៍ខាងលើក្រោមរាង f'(x)+f'(x+k)=0 រួចរកតំលៃ k ជាអនុគមន៍នៃ T
វិធីរកគឺ f'(x)=-f'(x+k)\Rightarrow f'(x+k)=-f'(x+2k)
\Leftrightarrow -f'(x+k)=f'(x+2k)\Rightarrow f'(x)=f'(x+2k)=f'(x+T)
យក \displaystyle T=2k\Rightarrow k=\frac{T}{2}
ដូចនេះយើងទាញបានទំនាក់ទំនង \displaystyle f'(x)+f'(x+\frac{T}{2})=0
តាមរយៈអនុគមន៍ខាងលើនេះយើងអាចរកឬសងាយនៃអនុគមន៍ខាងលើបានច្រើនរាប់មិនអស់។
ឧទាហរណ៍ ចូរកំណត់រកឬសងាយយ៉ាងតិចពីរនៃអនុគមន៍ f:R\rightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x+1)=f(x)+x+1; x\in R
ចំលើយ
ឬសងាយមានទំរង់ជាពហុធាៈ
ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងការរកឬសងាយយើងអាចឧបមាថាអនុគមន៍ f មានដេរីវេលើសំនុំចំនួនពិត R
ធ្វើដេរីវេបន្តបន្ទាប់ធៀបនឹងអថេរ x យើងបានៈ
f'(x+1)=f'(x)+1
f''(x+1)=f''(x)
យើងអាចអនុវត្តន៍ទ្រឹស្ដីបទ Rolle ចំពោះចន្លោះ (x, x+1) នោះយើងបានៈ
\displaystyle f''(x)=k\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}k+px+r
ជំនួសចូលសមីការដើមយើងទាញបាន \displaystyle k=1; p=\frac{1}{2}; r=const
ដូចនេះឬសងាយទីមួយគឺ \displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+r
ឬងាយក្នុងទំរង់ត្រីកោណមាត្រៈ
យើងឧបមាដូចខាងលើដែរតែយើងប្រើវិធានខាងលើនោះយើងបានៈ
\displaystyle f''(x)+f''(x+\frac{1}{2})=0
ដោយសមីការខាងលើមានរាង g(x)+g(x+T)=0 នោះយើងអាចទាញបានឬសងាយមួយក្នុងចំនោមអានន្តឬសងាយ
\displaystyle f''(x)=acos(2k+1) 2\pi x+bsin(2k+1)2\pi x
ធ្វើអាំងតេក្រាលបន្តបន្ទាប់នោះយើងទាញបានៈ
\displaystyle f(x)=Acos(2k+1)2\pi x+Bsin(2k+1)2\pi x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+r
អនុគមន៍ខាងលើមានអានន្តឬសព្រោះវាទាញចេញពីអនុគមន៍ខួបទៅ។
មិត្តអ្នកសិក្សាអាចពិចារណាលើបណ្ដាចំនុចដូចខាងក្រោមៈ
បើ f_1(x), f_2(x) ជាឬសនៃសមីការដើមនោះយើងបាន g_1(x)=f_1(x)+f_2(x) ក៏ជាឬសនៃសមីការដើមដែរ។ ដូចនេះយើងនឹងបាន g_2(x); g_3(x), ..., ជាឬសបន្តបន្ទាប់នៃអនុគមន៍។
ដូចនេះសមីការអនុគមន៍ខាងលើមានឬសច្រើនរាប់មិនអស់។
លំហាត់
1) រកបណ្ដាឬសងាយនៃអនុគមន៍ f:R\rightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ f(x+2)=f(x)+2; \forall{x\in R}
2) រកបណ្ដាឬសងាយនៃអនុគមន័ f:R\rightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
\displaystyle f(x)=\frac{f(x+2)-1}{f(x+1)+1}

នាំគ្នាលើកស្ទួយវិស័យគណិតវិទ្យាខ្មែរអោយមានការរីកចំរើនជាភារកិច្ចរបស់ពួកយើងជំនាន់ក្រោយ 😀

របៀបរកអនុគមន៍ |f(x).f(x+T)|=a; a>0

អនុគមន៍ខាងលើគឺវាស្ថិតនៅក្នុងប្រភេទអនុគមន៍ខួប ហើយអនុគមន៍ខួបទាំងនេះគឺមានលក្ខណៈពិសេសរបស់វានៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ ហើយនៅទីនេះដែរដើម្បីកុំអោយមិត្តអ្នកសិក្សាយល់ច្រឡំលើផ្នែកមួយចំនួននៃការសន្និដ្ឋានខុសទៅលើអនុគមន៍ខួប ខ្ញុំនឹងលើកយកនូវឧទាហរណ៍ជាកស្ដែងមួយចំនួនដែលកើតមានឡើងក្រោយពីខ្ញុំបានគិតនិងស្រាយបញ្ជាក់ឆ្ពោះទៅរកភាពទូទៅមួយនៃអនុគមន៍។ ខ្ញុំគិតដែរថាប្រហែលជាខ្ញុំកំពុងដើរលើគំនិតវង្វេងមួយក្នុងគណិតវិទ្យា ព្រោះថាការគិតរបស់ខ្ញុំគឺស្រាប់តែមានភាពផ្ទុយគ្នាជាច្រើន ហើយខ្ញុំក៏កំពុងបន្តរកភាពច្រឡូកច្រឡំគ្នាទាំងនោះអោយមានភាពពិតប្រាកដ។ ដូចនេះខ្ញុំសង្ឃឹមថានឹងទទួលបានមតិខ្លះៗពីបណ្ដាមិត្តអ្នកអាននៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដើម្បីជាផ្លូវមួយសំរាប់ខ្ញុំគិតបន្ថែមរាល់ចំនុចដែលអាចកើតមានឡើងនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។
ឥឡូវឈានចូលដល់វិធីរកអនុគមន៍ខាងលើវិញម្ដង អនុគមន៍ខាងលើត្រូវបានចាត់ចូលជាអនុគមន៍ខួបដែរតែគ្រាន់តែវាមានរាងខុសទៅនឹងអនុគមន៍ខួបមួយចំនួនដែលគេតែងតែសរសេរថា f(x)=f(x+T) ។ ការពិតរាងរបស់អនុគមន៍ខួប f(x)=f(x+T) ជារាងទូទៅបំផុតហើយវាក៏ជាមូលដ្ឋានមួយសំរាប់អោយយើងសិក្សាផងដែរ។ ចំនែកអនុគមន៍ខួប |f(x).f(x+T)|=a គឺជាប្រភេទអនុគមន៍ខួបអ៊ិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
របៀបរកគឺគ្រាន់តែបំពាក់លោការីតលើអង្គសងខាងយើងនឹងបានៈ
យើងមានៈ \displaystyle |f(x).f(x+T)|=a\Rightarrow \biggl|\frac{f(x)}{\sqrt{a}}\biggl|.\biggl|\frac{f(x+T)}{\sqrt{a}}\biggl|=1
តាង \displaystyle g(x)=\biggl|\frac{f(x)}{\sqrt{a}}| នោះយើងបានៈ
\displaystyle |g(x)||g(x+T)|=1
\Rightarrow ln|g(x)||g(x+T)|=0
\Leftrightarrow ln|g(x)|+ln|g(x+T)|=0
តាង h(x)=ln|g(x)| យើងបានៈ
h(x)+h(x+T)=0 ដោះស្រាយរកអនុគមន៍ h(x) រួចជំនួសចូលសមីការដើមបើវាផ្ទៀងផ្ទាត់នោះវាចំលើយមួយក្នុងចំនោមចំលើយ។
ក្រោយពេលដែលខ្ញុំបានរកនូវវីធីកំណត់អនុគមន៍ខួបតាមបែបរាងទូទៅ ខ្ញុំសង្កេតឃើញថាអនុគមន៍អនុគមន៍ខួបអាចរកបានចំលើយយ៉ាងងាយមួយ តែចំលើយនោះវាបានត្រឹមតែផ្ទៀងផ្ទាត់ទៅនឹងតំលៃដែលយើងបំលែងតៗគ្នា ហើយវាមិនផ្ទៀងផ្ទាត់ទៅនឹងសំណើរដើមរបស់លំហាត់ទេ។ ចំពោះបញ្ហាមួយនេះខ្ញុំបានគិតអស់ច្រើនថ្ងៃហើយ ហើយក៏មិនទាន់ទាញបានលទ្ធផលទូទៅមួយបានដែរ។ ហើយខ្ញុំនឹងខិតខំប្រឹងប្រែងរកបន្តទៀតនូវរាល់វិធីផ្សេងៗដែលអាចកំណត់វាបាន។
ឧទាហរណ៍ រកអនុគមន៍ f:R^{+}\rightarrow R^{+} ផ្ទៀងផ្ទាត់
f(x).f(x+1)=1
ចំលើយ
តាមវិធានខាងលើយើងបាន lnf(x)f(x+1)=0\Leftrightarrow lnf(x)+lnf(x+1)=0
តាង g(x)=lnf(x) នោះយើងបាន g(x)+g(x+1)=0
យើងអាចរកបានចំលើយមួយក្នុងចំនោមចំលើយងាយនៃអនុគមន៍ g(x)+g(x+1)=0 គឺៈ
g(x)=acos(2k+1)\pi x+bsin(2p+1)\pi x
ព្រោះ g(x+1)=-g(x) មិត្តអ្នកអានសាកល្បងដោយខ្លួនឯង។
ដូចនេះយើងទាញបានៈ \displaystyle f(x)=e^{acos(2k+1)\pi x+bsin(2p+1)\pi x}
ជំនួសចូលក្នុងសមីការដើមយើងបានចំលើយខាងលើផ្ទៀងផ្ទាត់។
ដូចនេះអនុគមន៍ f(x)=e^{acos(2k+1)\pi x+bsin(2p+1)\pi x} ជាចំលើយងាយមួយនៃសំណើរខាងលើ។
កំណត់ចំណាំ៖
បើសិនជាយើងជ្រើសរើសយកវិធីខាងក្រោមមកស្រាយនោះយើងនឹងត្រូវសន្និដ្ឋានបែបណា?
យើងមាន \displaystyle f(x)f(x+1)=1\Rightarrow f(x)=\frac{1}{f(x+1)}
ជំនួស x ដោយ x+1 នោះយើងបានៈ \displaystyle f(x+1)=\frac{1}{f(x+2)}\Rightarrow f(x+2)=\frac{1}{f(x+1)}
ដូចនេះយើងទាញបាន f(x)=f(x+2) យើងឃើញថា f(x) ជាអនុគមន៍ខួបដែលមានខួបស្មើនឹង 2 ។
មានច្រើនរាប់មិនអស់សំរាប់អនុគមន៍ដែលមានខួបស្មើនឹង 2 តែអនុគមន៍ទាំងនោះមិនមែនសុទ្ធតែផ្ទៀងផ្ទាត់ទៅនឹងសំណើរដើមនៃអនុគមន៍នោះទេ។
ដូចជា f(x)=f(x+2) គឺវាមានចំលើយងាយមួយក្នុងចំនោមចំលើយងាយគឺ f(x)=acos(2k+1)\pi x+bsin(2p+1)\pi x តែចំលើយងាយនេះមិនផ្ទៀងផ្ទាត់នឹងសមីការដើម។
នៅត្រង់ចំនុចនេះខ្ញុំកំពុងរុករកនូវចំនុចរួមបំផុតរបស់វាហើយ តែមិនទាន់មានលទ្ធផលអីទេ។
លំហាត់បន្ថែមៈ
1) រកអនុគមន៍ f:R^{+}\rightarrow R^{+} ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x)f(x+2)=f^2(x+1); \forall{x\in N}
2) រកអនុគមន៍ f:R^{+}\rightarrow R^{+} ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x).f(x+2)=x(x+2), x\in R^{+}
3) រកអនុគមន៍ f:R^{+}\rightarrow R^{+} ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x)+f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=x, x\in R^{+}
បញ្ចេញមតិមួយរបស់ដើម្បីបំភ្លឺផ្លូវដល់ខ្ញុំ ក៏ដូចជាលើកស្ទួយវិស័យគណិតវិទ្យាខ្មែរដែរ 😀

របៀបរកអនុគមន៍ f(x)=f(x+T)

ដោយគ្រាន់តែមើលឃើញភ្លាមសំរាប់អ្នកដែលរៀនគណិតវិទ្យាអាចដឹងបានភ្លាមថាអនុគមន៍ខាងលើជាអនុគមន៍ខួប។ តើអនុគមន៍ដែលយើងកំពុងសរសេរនេះត្រូវរករាងទូទៅរបស់វាដោយវិធីណា?
ថ្ងៃនេះខ្ញុំនឹងលើកយកវិធីសាស្រ្ដខ្លះៗតាមការស្រមើស្រមៃរបស់ខ្ញុំនៅក្នុងគណិតវិទ្យាមកចែកជាចំណេះដឹងដល់មិត្តអ្នកស្រាវជ្រាវទាំងអស់
ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងការរករាងទូទៅនៃអនុគមន៍ខួបយើងដាច់ខាតត្រូវបំលែងវាអោយទៅជាផលបូកវិញទើបងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយ
គឺមានន័យថាគ្រ់អនុគមន៍សុទ្ធតែសរសេរបានក្នុងរាង f(x)+f(x+n)=0 រួចយើងត្រូវរកអោយឃើញតំលៃ n ជាអនុគមន៍នៃ T
ដូចនេះយើងអាចចាប់ផ្ដើមចេញពី f(x)+f(x+n)=0 ផ្គួបជាមួយសម្មតិកម្មយើងប្រាកដជាអាចរកបាន n ជាអនុគមន៍នៃ T
យើងមានៈ f(x)+f(x+n)=0\Rightarrow f(x)=-f(x+n)
ជំនួស x ដោយ x+n យើងទាញបាន f(x+n)=-f(x+2n)\Leftrightarrow f(x+2n)=-f(x+n)
ដោយ f(x)=-f(x+n) នោះយើងទាញបាន f(x)=f(x+2n)
តាមសម្មតិកម្មយើងមាន f(x)=f(x+T)
ដោយផ្ទឹមអង្គនិងអង្គយើងបាន f(x+2n)=f(x+T)
ដូចនេះយើងអាចទាញបានតំលៃ \displaystyle n=\frac{T}{2} ជំនួសចួលអនុគមន៍ដែលយើងចង់បានគឺៈ
\displaystyle f(x)+f(x+\frac{T}{2})=0
តាមរយៈរាងរបស់អនុគមន៍ខាងលើយើងអាចកំណត់រាងទូទៅរបស់អនុគមន៍ខួបខាងលើបាន។
មើលបន្តនៅទំព័រនេះ របៀបរកអនុគមន៍ f(x)+f(x+T)=0

របៀបរកអនុគមន៍ f(x)+f(x+n)=0

នេះជាវិធានសំរាប់រកអនុគមន៍ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x)+f(x+n)=0 ; n\in Z
សំនួរត្រូវបានដាក់ឡើងថារកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\rightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x)+f(x+n)=0 ; n\in Z\& x\in R
នេះជាវិធីនៃការស្រមើស្រមៃរបស់ខ្ញុំ ទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃគណិតវិទ្យា ហើយខ្ញុំគិតថាវិធីដែលខ្ញុំបង្កើតសំរាប់រកអនុគមន៍ខាងលើនៅមានភាពខ្វះខាត់ខ្លះៗ។ ដូចនេះវាត្រូវការអោយលោកគ្រូ អ្នកគ្រូ សិស្ស និស្សិត ជាពិសេសគឺយុវជនដែលចូលចិត្តស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យា ជួយបំពេញបន្ថែមលើចំនុចខ្វះខាតទាំងនោះ ដើម្បីអោយវិធីសាស្រ្ដដោះស្រាយខាងលើកាន់តែមានភាពទូលំទូលាយទៅតាមតំរូវការពិភពលោក។
វិធីសាស្រ្តសំរាប់រកគឺចែកចេញជាជំហានៗដូចខាងក្រោមៈ
ជំហានទីមួយៈ ត្រូវស្រាយថាអនុគមន៍ខាងលើជាអនុគមន៍ខួប
របៀបស្រាយៈ
តាមសម្មតិកម្មយើងមាន f(x)+f(x+n)=0\Rightarrow f(x)=-f(x+n)
ជំនួស x ដោយ x+n យើងបាន f(x+n)=-f(x+n+n)=-f(x+2n)
គុណអង្គទាំងពីរនឹង -1 យើងបាន -f(x+n)=f(x+2n)
ដូចនេះយើងទាញបាន f(x)=f(x+2n) យើងឃើញថា f(x) គឺជាអនុគមន៍ខួប។
ជំហានទីពីរៈ កំនត់ភាពទាល់នៃអនុគមន៍ខួបខាងលើ
របៀបកំណត់ៈ
យើងឧបមាថាអនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍ខួបក្នុងចន្លោះ [-a, a] នោះយើងបានៈ
-a\leq f(x)\leq a
បើសិន a=0\Rightarrow f(x)=0; \forall{x\in R}
បើសិន a\neq 0 នោះអនុគមន៍ខាងលើសមមូលនឹង \displaystyle -1\leq \frac{f(x)}{a}\leq 1
ចំណាំយើងអាចឧបមាថា f(x) ជាអនុគមន៍ខួបនៅក្នុងចន្លោះ [-b, b] ផ្សេងទៀតរួចអនុវត្តវិធានដូចខាងលើ។
ជំហានទីបីៈ កំណត់រកគ្រប់តំលៃ \alpha និង \beta (ដោះស្រាយរកឬសងាយនៃ \alpha និង \beta បើមាន)
របៀបកំណត់និងរបៀបដោះស្រាយ

  • ទីមួយៈ ឧបមាថាមាន \alpha \in R ដែលធ្វើអោយ \pi\leq \alpha x\leq 2\pi

នោះនាំអោយ cos\pi \leq cos \alpha x\leq cos 2\pi\Leftrightarrow -1\leq cos \alpha x\leq 1
ជ្រើសរើសអនុគមន៍ \displaystyle \frac{f_1(x)}{a}=cos \alpha x\Rightarrow f_1(x)=acos \alpha x
ជំនួស f_1(x)=acos \alpha x ចូលសមីការដើមនោះយើងបាន acos \alpha x+acos \alpha (x+n)=0 រួចដោះស្រាយរកតំលៃ \alpha ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការខាងលើ។

  • ទីពីរៈ ឧបមាថាមាន \beta \in R ដែលធ្វើអោយ \displaystyle \frac{3\pi}{2}\leq \beta x\leq \frac{\pi}{2} នោះយើងទាញបានៈ

\displaystyle sin \frac{3\pi}{2}\leq sin \beta x\leq sin \frac{\pi}{2}\Leftrightarrow -1\leq sin \beta x\leq 1
ជ្រើសតំលៃ \displaystyle \frac{f_2(x)}{b}=sin \beta x\Rightarrow f_2(x)=bsin \beta x
ជំនួស f_2(x)=bsin \beta x ចូលអនុគមន៍ដើមនោះយើងបាន bsin \beta x+bsin \beta (x+n)=0 ដោះស្រាយរកតំលៃ \beta នៃសមីការខាងលើ។
ជំហានទី 4 សរុបចំលើយនៃដំណោះស្រាយខាងលើ
ករណីដែលយើងមិនអាចរកបានតំលៃ \alpha , \beta នោះយើងទាញបាន f(x)=0; \forall{x\in R}
ករណីដែលយើងរកបានតំលៃ \alpha , \beta នោះយើងបានចំលើយនៃអនុគមន៍ខាងលើគឺៈ f(x)=f_1(x)+f_2(x)
ឆ្លងកាត់ការដោះស្រាយរកតំលៃ \alpha , \beta នៃសមីការខាងលើយើងបានអនុគមន៍ f(x) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់គឺៈ
\displaystyle f(x)=acos(2k+1)\frac{\pi}{n}x+bsin(2p+1)\frac{\pi}{n}x; \forall{k, p, n\in Z};\& \forall{x\in R}

និពន្ធដោយ វ៉ាន់ ឃា វិស្វករសំណង់ស៊ីវិល

យោងតាមជំហានខាងលើមិត្តអ្នកសិក្សាអាចឧបមាបន្ថែមជាមួយអនុគមន៍អ៊ីចស្ប៉ួណង់ស្យែល ឬអនុគមន៍លោការីតជាដើម … ។
ដើម្បីអោយច្បាស់ថែមទៀតមិត្តអ្នកអានទាំងអស់សូមចុចលើបន្ទាត់ខាក្រោមដើម្បីមើលឧទាហរណ៍ខ្លះៗ
ឧទាហរណ៍ 1 រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\rightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x)+f(x+1)=0; x\in R
ឧទាហរណ៍ 2 រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\rightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x)+f(x+3)=0; x\in R
ឧទាហរណ៍ 3 រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\rightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x)+f(x+3)=2; x\in R
ឧទាហរណ៍ 4 រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\rightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x)+f(x+1)=x; x\in R
ឧទាហរណ៍ 5 រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\rightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x)+f(x+1)+f(x+3)+f(x+4)=2012; x\in R
ឧទាហរណ៍ 6 រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\rightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x)+f(x+5)=0; x\in R
ឧទាហរណ៍ 7 រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\rightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ \displaystyle f(x)+2f(x+1)+f(x+2)=cos\frac{\pi}{2}x-sin\frac{\pi}{2}x ; x\in R
ឧទាហរណ៍ 8 រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\rightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ f(x)+2f(x+3)=2f(x+1)+f(x+4); x\in R