Problem 38 van khea: functional equations

រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\longrightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
\displaystyle \frac{f(x)+\alpha f(y)}{2}=f(\frac{x+\alpha y}{2}); \forall{x, y, \alpha \in R}
ចំលើយ
តាង f(1)=a; f(0)=b
យើងពិនិត្យករណី \alpha = 1 នោះយើងបាន \displaystyle \frac{f(x)+f(y)}{2}=f(\frac{x+y}{2}); \forall{x, y\in R}
ជាអនុគមន៍ Jesen ដូចនេះយើងទាញបាន f(x)=ax+b
ករណី \alpha \neq 1 នោះយើងជំនួស \alpha =0 យើងបានៈ
\displaystyle f(\frac{x}{2})=\frac{f(x)}{2}
យក x=0\Rightarrow f(0)=0
ចំពោះ \displaystyle x=1\Rightarrow f(\frac{1}{2})=\frac{f(1)}{2}=\frac{a}{2}
ចំពោះ \displaystyle x=\frac{1}{2}\Rightarrow f(\frac{1}{2^2})=\frac{a}{2^2}
តាមវាចារកំនើនយើងទាញបាន \displaystyle f(\frac{1}{2^n})=\frac{a}{2^n}\Rightarrow f(t)=at; t=\frac{1}{2^n} ប្តូរ t ទៅ x នោះយើងបាន f(x)=ax
យក x=0 នោះយើងទាញបានៈ \displaystyle f(\frac{\alpha y}{2})=\frac{\alpha f(y)}{2}
យក \displaystyle y=1\Rightarrow f(\frac{\alpha}{2})=\frac{\alpha}{2}f(1)=\frac{\alpha}{2}.a
យក \displaystyle t=\frac{\alpha}{2}\Rightarrow f(t)=at ជំនួស t ដោយ x នោះយើងនៅតែបានលទ្ធផល f(x)=ax
ដូចនេះយើងបានចំលើយគឺ \displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}ax+b;if, \alpha=1\\ax; if, \alpha \neq 1\end{array}\right.

3 Responses to Problem 38 van khea: functional equations

  1. ceojimmyps និយាយថា ៖

    ហេតុអី​បាន​ហ៊ាន​ជំនួស \alpha =1​ ??

  2. ceojimmyps និយាយថា ៖

    ច្រឡំ! ហេតុអី​បាន​ហ៊ាន​ជំនួស \alpha =0​ ??

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: