Problem 26: functional equation

រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\longrightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
\displaystyle xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y); \forall{x, y\in R}
ចំលើយ
យក x=y=1 នោះយើងបានៈ 2f(1)=2(f(1))^2\Rightarrow f(1)=0f(1)=1
ករណី f(1)=0 យើងយក y=1 នោះយើងបានៈ f(x)=0; \forall{x\in R}
ករណី f(1)=1 យើងយក y=1 នោះយើងបានៈ x+f(x)=(x+1)f(x)\Rightarrow x(f(x)-1)=0 យើងឃើញថាចំពោះគ្រប់ x\neq 0\Rightarrow f(x)=1
ជំនួសឡើងវិញចំពោះ xy\neq 0x=y=0 នោះសមីការខាងលើពិតជានិច្ច។
ចំពោះ \displaystyle \left\{\begin{array}{ccl}x\neq 0\\y=0\end{array}\right.\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccl}f(x)=1\\f(y)=a\end{array}\right. នោះយើងទាញបានៈ
xf(y)+yf(x)=ax ហើយ (x+y)f(x)f(y)=ax
ដូចនេះយើងបានៈ \displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}1;x\neq 0\\a;x=0\end{array}\right.

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: