Problem 23 Van Khea: functional equation

គេអោយអនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់និងមានដេរីវេចំពោះគ្រប់ x ។ ចូររកអនុគមន៍ f(x) នោះបើគេដឹងថាៈ
\displaystyle \left\{\begin{array}{ccl}f(0)=0; f(1)=1\\f(x+1)=xf''(x)+f(x)+1\end{array}\right.
ចំលើយ
យើងពិនិត្យករណី x=0; f''\neq 0 នោះសមីការខាងលើផ្ទៀងផ្ទាត់ជានិច្ច។
ករណី f''(x)=0\Rightarrow f(x)=px+q
f(0)=0\Rightarrow q=0\& f(1)=1\Rightarrow p=1 នោះយើងបាន f(x)=x
ករណី x\neq 0; f''(x)\neq 0 នោះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{f(x+1)-f(x)-1}{x}=f''(x)
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(f(x+1)-f(1))-(f(x)-f(0))}{x}=f''(x)
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(x-0)(f(x+1)-f(1))-(x+1-1)(f(x)-f(0))}{(x+1-1)((x+1)^2-1^2)-(x-0)(x^2-0^2)}=\frac{f''(x)}{2}
តាង g(x)=x^2\Rightarrow g''(x)=2
ដូចនេះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{(x-0)(f(x+1)-f(1))-(x+1-1)(f(x)-f(0))}{(x-0)(g(x+1)-g(1))-(x+1-1)(g(x)-g(0))}=\frac{f''(x)}{g''(x)}
ដោយ f(x) និង g(x) សុទ្ធតែជាអនុគមន៍ជាប់និងមានដេរីវេចំពោះគ្រប់ x នោះតាមបំរែបំរួលទី 2 (វ៉ាន់ ឃា) យ៉ាងតិចមានពីរចំនុច c_1\in (1, x+1) និង c_2\in (0, x) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
\displaystyle \frac{(x-0)(f(x+1)-f(1))-(x+1-1)(f(x)-f(0))}{(x-0)(g(x+1)-g(1))-(x+1-1)(g(x)-g(0))}=\frac{f'(c_1)-f'(c_2)}{g'(c_1)-g'(c_2)};(c_1\neq c_2)
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{f'(c_1)-f'(c_2)}{g'(c_1)-g'(c_2)}=\frac{f''(x)}{g''(x)}
អនុវត្តន៍ទ្រឹស្ដីបទ Cauchy នោះយ៉ាងតិចមានចំនុច t\in (c_1, c_2) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់:
\displaystyle \frac{f'(c_1)-f'(c_2)}{g'(c_1)-g'(c_2)}=\frac{f''(t)}{g''(t)}
ដូចនេះយើងបានៈ \displaystyle \frac{f''(t)}{g''(t)}=\frac{f''(x)}{g''(x)}
អនុវត្តន៍ទ្រឹស្ដីបទ Rolle នោះយ៉ាងតិចមានចំនុច x_0\in (t, x) ផ្ទៀងផ្ទាត់ \displaystyle \frac{f''(x_0)}{g''(x_0)}=k; k=constand
\displaystyle \Rightarrow f(x_0)=kg(x_0)+rx_0+s; (k, r, s=const)
\Rightarrow f(x)=kx^2+rx+s
f(0)=0\Rightarrow s=0
\displaystyle f(1)=1\Rightarrow k+r=1\Leftrightarrow k=\frac{a}{a+b}; r=\frac{b}{a+b}
ដូចនេះយើងបានៈ \displaystyle f(x)=\frac{1}{a+b}(ax^2+bx) ជំនួសចូលសមីការខាងលើឃើញថាផ្ទៀងផ្ទាត់។
ដូចនេះអនុគមន៍ \displaystyle f(x)=\frac{1}{a+b}(ax^2+bx); (a, b=cosnt)

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: