Problem 20: Functional equation

រកអនុគមន៍ពហុធា f(x) ផ្ទៀងផ្ទាត់
2f(x)+f(1-x)=x^2; \forall{x\in \mathbb{R}}
ចំលើយ
យើងពិនិត្យលើដឺក្រេនៃអង្គទាំងពីរនៃសមីការខាងលើយើងឃើញថា x, 1-x មានដឺក្រេទី 1 ហើយ x^2 មានដឺក្រេទី 2 ដូចនេះសមីការខាងលើត្រូវតែមានរាង f(x)=ax^2+bx+c
ជំនួសចូលសមីការខាងលើយើងទាញបាន \displaystyle a=\frac{1}{3}; b=\frac{2}{3}; c=-\frac{1}{3}
ដូចនេះយើងបាន \displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}
ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្រាយថាចំពោះអនុគមន៍ពហុធាផ្សេងទៀតសុទ្ធតែមិនផ្ទៀងផ្ទាត់ តាមលក្ខខណ្ឌលំហាត់ខាងលើ
យើងឧបមាថាមានអនុគមន៍ g(x) មួយទៀតក៏ផ្ទៀងផ្ទាត់តាមលក្ខខណ្ឌលំហាត់ខាងលើ នោះនាំអោយមាន x_0\in R ដែល g(x_0)\neq f(x_0)
ដោយ g(x) ផ្ទៀងផ្ទាត់តាមលក្ខខណ្ឌខាងលើនោះយើងបានៈ
2g(x)+g(1-x)=x^2; x\in R
ជំនួស x=x_0 នោះយើងបានៈ 2g(x_0)+g(1+x_0)=x_0^2;(1)
ជំនួស x=1+x_0 នោះយើងបានៈ 2g(1-x_0)+g(x_0)=(1-x_0)^2;(2)
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ (1)\& (2) នោះយើងបានៈ \displaystyle g(x_0)=\frac{1}{3}(x_0^2+2x_0-1)=f(x_0) ផ្ទុយពីសម្មតិកម្ម។
ដូចនេះមានតែ \displaystyle f(x)=\frac{1}{3}(x^2+2x-1) មួយគត់ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងលើ។
ដូចនេះ \displaystyle f(x)=\frac{1}{3}(x^2+2x-1); x\in R

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: