problem 18: Functional equation

រកគ្រប់អនុគមន៍ \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} ផ្ទៀងផ្ទាត់
f(xf(y)+x)=xy+f(x); \forall{x, y\in \mathbb{R}}
ចំលើយ
តាមបំរាប់យើងមានៈ
f(xf(y)+x)=xy+f(x); \forall{x, y\in \mathbb{R}};(1)
ជំនួស x=1; y\in R នោះ (1) សមមូលនឹងៈ
f(f(y)+1)=y+f(1);(2)
ជំនួស y=-f(1)-1 នោះ (2) សមមូលនឹងៈ
f(f(-f(1)-1)+1)=-1; (3)
តាង a=f(-f(1)-1)+1 នោះសមីការ (3) ទៅជាៈ f(a)=-1
ជ្រើសរើស y=a; x\in R នោះសមីការ (1) សមមូលនឹងៈ
f(xf(a)+x)=ax+f(x)\Leftrightarrow f(-x+x)=ax+f(x)\Rightarrow f(x)=-ax+f(0)
តាង b=f(0) នោះយើងបានៈ f(x)=-ax+b
ជំនួសចូល (1) នោះគេបានៈ
a^2=1\&-ab-a=-a\Leftrightarrow a=1; a=-1\&b=0
ដូចនេះអនុគមន៍ f(x)=-x និង f(x)=x

One Response to problem 18: Functional equation

  1. អនាមិក និយាយថា ៖

    តើមានមេរៀនសមីការអនុគមន៍ដែរឬទេបង

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: