Problem 15 van khea: functional equation

គេអោយ f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់និងមានដេរីវេចំពោះគ្រប់តំលៃ x ។ ចូរកំណត់អនុគមន៍ f(x) នោះបើគេដឹងថាៈ
\displaystyle f(x)+f(y)=\frac{x-y}{4}(f'(x)-f'(y))+2f(\frac{x+y}{2})
សំរាយបញ្ជាក់
យើងពិនិត្យករណី x=y នោះសមីការខាងលើផ្ទៀងផ្ទាត់ជានិច្ច។
ករណី x\neq y\neq 0 នោះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle f(x)+f(y)-2f(\frac{x+y}{2})=\frac{x-y}{4}(f'(x)-f'(y))
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{f(x)+f(y)-2f(\frac{x+y}{2})}{\frac{x-y}{2}}=\frac{f'(x)-f'(y)}{2}
\displaystyle \Rightarrow \frac{f(x)+f(y)-2f(\frac{x+y}{2})}{\frac{(x-y)^2}{2}}=\frac{f'(x)-f'(y)}{2(x-y)}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle x-\frac{x+y}{2}=\frac{x+y}{2}-y=\frac{x-y}{2}
ហើយ \displaystyle \frac{(x-y)^2}{2}=x^2+y^2-2(\frac{x-y}{2})^2
ដូចនេះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{(\frac{x+y}{2}-y)(f(x)-f(\frac{x+y}{2}))-(x-\frac{x+y}{2})(f(\frac{x+y}{2})-f(y))}{(\frac{x+y}{2}-y)(x^2-(\frac{x-y}{2})^2)-(x-\frac{x+y}{2})((\frac{x-y}{2})^2-y^2)}\displaystyle =\frac{f'(x)-f'(y)}{2(x-y)}
តាង g(x)=x^2\Rightarrow g'(x)=2x\Rightarrow g'(x)-g'(y)=2(x-y) ដូចនេះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{(\frac{x+y}{2}-y)(f(x)-f(\frac{x+y}{2}))-(x-\frac{x+y}{2})(f(\frac{x+y}{2})-f(y))}{(\frac{x+y}{2}-y)(g(x)-g(\frac{x+y}{2}))-(x-\frac{x+y}{2})(g(\frac{x+y}{2})-g(y))}\displaystyle =\frac{f'(x)-f'(y)}{g'(x)-g'(y)}
ដោយ f(x)\& g(x) សុទ្ធតែជាអនុគមន៍ជានិងមានដេរីវេចំពោះគ្រប់ x នោះយើងអនុវត្តន៍ទ្រឹស្ដីបទបំរែបំរួលទីពីរ (វ៉ាន់ ឃា) នោះយ៉ាងតិចមានចំនុច \displaystyle c_1\in (x, \frac{x+y}{2}); c_2\in (\frac{x+y}{2}, y) ដែលធ្វើអោយៈ
\displaystyle \frac{(\frac{x+y}{2}-y)(f(x)-f(\frac{x+y}{2}))-(x-\frac{x+y}{2})(f(\frac{x+y}{2})-f(y))}{(\frac{x+y}{2}-y)(g(x)-g(\frac{x+y}{2}))-(x-\frac{x+y}{2})(g(\frac{x+y}{2})-g(y))}\displaystyle =\frac{f'(c_1)-f'(c_2)}{g'(c_1)-g'(c_2)}
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{f'(c_1)-f'(c_2)}{g'(c_1)-g'(c_2)}=\frac{f'(x)-f'(y)}{g'(x)-g'(y)}
តាមទ្រឹស្ដីបទ Cauchy នោះយ៉ាងតិចមាន c'\in (c_1, c_2); c''\in (x, y) ដែលធ្វើអោយៈ
\displaystyle \frac{f'(c_1)-f'(c_2)}{g'(c_1)-g'(c_2)}=\frac{f''(c')}{g''(c')}=h(c')
\displaystyle \frac{f'(x)-f'(y)}{g'(x)-g'(y)}=\frac{f''(c'')}{g''(c'')}=h(c'')
យើងទាញបានៈ
h(c')=h(c'')
តាមទ្រឹស្ដិបទ Rolle នោះយ៉ាងតិចមានចំនុច t\in (c', c'') ដែលធ្វើអោយ h'(t)=0\Leftrightarrow h(t)=p; p=const
\displaystyle \Rightarrow \frac{f''(t)}{g''(t)}=p
\displaystyle \Rightarrow f'(t)=pg'(t)+q; (p, q=cosnt)
\Rightarrow f(t)=pg(t)+qt+r=pt^2+qt+r; (p, q, r=cosnt)
ដូចនេះអនុគមន៍ f(x)=px^2+qx+r; (p, q, r=const)

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: