Problem 16 van khea: functional equation

ចូរកំនត់អនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់ចំពោះគ្រប់ x ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់
\displaystyle f(x)+f(y)=\frac{1}{2}(xf'(x)+yf'(y))
សំរាយបញ្ជាក់
យើងពិនិត្យករណី x=y=0 នោះយើងបានៈ f(0)=0
យក x=y\neq 0 នោះយើងទាញបានៈ
2f(x)=xf'(x)
\Leftrightarrow xf'(x)-2f(x)=0
\displaystyle \Rightarrow \frac{x^2f'(x)-2xf(x)}{x^4}=0
\displaystyle \Leftrightarrow \biggl(\frac{f(x)}{x^2}\biggl)'=0
\displaystyle \Rightarrow \frac{f(x)}{x^2}=p; p=const
\Rightarrow f(x)=px^2
ជំនួសចូលសមីការដើមយើងបានៈ
\displaystyle p(x^2+y^2)=\frac{1}{2}(x.2px+y.2py)=p(x^2+y^2) ផ្ទៀងផ្ទាត់។
ដូចនេះអនុគមន៍ f(x)=px^2; p=const

8 Responses to Problem 16 van khea: functional equation

  1. kheavan និយាយថា ៖

    ខ្ញុំមិនដឹងថាមកពីហេតុអ្វីទេ ថ្ងៃនេះស្រាប់តែខ្ញុំមិនអាចផុសនូវចំលើយក៏ដូចជាដំណឹងថ្មីៗទៀតបានសោះ?
    បើសិនជាអ្នកដឹងសូមជួយប្រាប់ខ្ញុំផង តើហេតុអ្វី? ហើយខ្ញុំត្រូវធ្វើអ្វីខ្លះ?

  2. ceojimmyps និយាយថា ៖

    x=y=0:\,\,f(0)=0
    y=0,x\ne 0:
    f\left( x \right)=\frac{1}{2}xf'\left( x \right)
    \frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\frac{2}{x}
    \ln \left| f\left( x \right) \right|=2\ln \left| x \right|+c
    f\left( x \right)={{e}^{2\ln \left| x \right|+c}}={{x}^{2}}+a,\,\,a={{e}^{c}}\in \mathbb{R}
    ជំនួស​រក​a
    {{x}^{2}}+a+{{y}^{2}}+a=\frac{1}{2}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)
    a=0
    ដូចនេះ f\left( x \right)={{x}^{2}}

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: