Problem 14 van khea: functional equation

គេអោយ f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់និងមានដេរីវេចំពោះគ្រប់ x ។ ចូរកំណត់អនុគមន៍ f(x) បើគេដឹងថាៈ
\displaystyle f(x)-f(y)=\frac{x+y}{2}f'(x-y); \forall{x, y}
សំរាយបញ្ជាក់
របៀបទី 1
យើងពិនិត្យករណី x=y\neq 0 នោះយើងបាន f'(0)=0\Rightarrow f(0)=c; c=const
ករណី x\neq 0; y=0 នោះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle f(x)-f(0)=\frac{x}{2}f'(x)
\displaystyle \Leftrightarrow f'(x)-\frac{2}{x}f(x)=-\frac{f(0)}{x}
តាង \displaystyle y=f(x); p(x)=-\frac{2}{x}; q(x)=-\frac{f(0)}{x} នោះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
y'+p(x)y=q(x)
យើងរកឬងាយនៃសមីការ y'+p(x)y=0
\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}
\displaystyle \Rightarrow \frac{dy}{y}=-p(x)dx
\displaystyle \Rightarrow y=Ce^{-\int\limits p(x)dx}
\displaystyle \int\limits p(x)dx=-2ln|x|+c_1
\displaystyle \Rightarrow y=Cx^2
ជំនួសចូលសមីការដើមដើម្បីរកតំលៃ C
\displaystyle C'(x).x^2+C(x).2x-2C(x).x=q(x)
\displaystyle \Rightarrow C'(x)=\frac{q(x)}{x^2}=-\frac{f(0)}{x^3}
\displaystyle \Rightarrow C(x)=\frac{f(0)}{x^2}+K
ដូចនេះសមីការមានឬ \displaystyle y=f(x)=(\frac{f(0)}{x^2}+K).x^2=Kx^2+c; k, c=cosnt
ចំណាំ សមីការឌីផេរ៉ងស្យែល y'+p(x)y=q(x) មានឬសក្នុងទំរង់ទូទៅគឺៈ
\displaystyle y=Ke^{-\int\limits p(x)dx}+e^{-\int\limits p(x)dx}.\int\limits q(x)e^{\int\limits p(x)dx}dx
របៀបទី 2
យើងពិនិត្យករណី x=y\neq 0 នោះយើងបាន f'(0)=0\Rightarrow f(0)=c; c=const
ករណី x\neq y\neq 0 នោះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{f'(x-y)}{2(x-y)}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{f(x)-f(y)}{x^2-y^2}=\frac{f'(x-y)}{2(x-y)}
តាង g(x)=x^2\Rightarrow g'(x)=2x\Rightarrow g'(x-y)=2(x-y)
ដូចនេះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(x-y)}{g'(x-y)}
តាមទ្រឹស្ដីបទ Cauchy នោះយ៉ាងតិចមានចំនុច c\in (x, y) ដែលធ្វើអោយៈ
\displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f'(x-y)}{g'(x-y)}
តាមទ្រឹស្ដីបទ Rolle នោះយ៉ាងតិចមានចំនុច c'\in (c, x-y) ដែលធ្វើអោយ \displaystyle \biggl(\frac{f'(c')}{g'(c')}\biggl)'=0
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{f'(c')}{g'(c')}=K; k=const
\displaystyle \Rightarrow f(c')=Kg(c')+q=kc'^2+q
ដូចនេះអនុគមន៍ f(x)=Kx^2+q; K, q=const

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: