Problem 6 Van Khea: functional equation

ចូរកំណត់អនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់ចំពោះគ្រប់ x ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់
3f(x)+f(x+2y)=3f(y)+f(2x+y); \forall{x, y}
សំរាយបញ្ជាក់
យើងពិនិត្យករណី x=y នោះសមភាពកើតមានឡើង។ ដូចនេះយើងពិនិត្យលើករណី x\neq y\neq 0
សមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle f(x)-f(y)=\frac{f(2x+y)-f(x+2y)}{3}
\displaystyle \Rightarrow \frac{f(x)-f(y)}{x+y}=\frac{f(2x+y)-f(x+2y)}{3(x+y)}
តាង c=2x+y; d=x+2y\Rightarrow c+d=3(x+y)
\displaystyle \Rightarrow \frac{f(x)-f(y)}{x+y}=\frac{f(c)-f(d)}{c+d}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ c-d=(2x+y)-(x+2y)=x-y
នោះសមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \Rightarrow \frac{f(x)-f(y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{f(c)-f(d)}{(c-d)(c+d)}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{f(x)-f(y)}{x^2-y^2}=\frac{f(c)-f(d)}{c^2-d^2}
តាង g(t)=t^2 នោះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f(c)-f(d)}{g(c)-g(d)}
តាមទ្រឹស្ដីបទ Cauchy នោះនាំអោយមាន c_1\in (x, y)\& c_2\in (c, d) ដែលធ្វើអោយ
\displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(c_1)}{g'(c_1)}=h(c_1)
\displaystyle \frac{f(c)-f(d)}{g(c)-g(d)}=\frac{f'(c_2)}{g'(c_2)}=h(c_2)
\displaystyle \Rightarrow \frac{f'(c_1)}{g'(c_1)}=\frac{f'(c_2)}{g'(c_2)}\Leftrightarrow h(c_1)=h(c_2)
តាមទ្រឹស្ដីបទ Rolle នោះយ៉ាងតិចមានចំនុច u\in (c_1, c_2) ដែលធ្វើអោយ h'(u)=0
\Leftrightarrow h(u)=p; p=const
\displaystyle \Rightarrow \frac{f'(u)}{g'(u)}=p
\Rightarrow f'(u)=pg'(u)
\Rightarrow f(u)=pg(u)+q; q=const
ដោយ g(t)=t^2\Rightarrow g(u)=u^2
\Rightarrow f(u)=pu^2+q; p, q=const
ដូចនេះអនុគមន៍ដែលត្រូវរកគឺ f(x)=px^2+q; p, q=const

7 Responses to Problem 6 Van Khea: functional equation

  1. គឹម គីណាល់ និយាយថា ៖

    បង!! ញុំសុំសួរមួយថា ពេលបងសរសេរជាប្រភាគ មិចក៏ចេញធំៗម្លេះ?? ចំណែកញុំវិញ Publish ចេញមក មើលទៅតូចៗ មើលមិនចង់ឃើញ។ មិចបានចឹងបង???? តើញុំត្រុវសរសេរយ៉ាងមិចទៅដើម្បីឲ្យបានធំដែរ???

  2. kheavan និយាយថា ៖

    យើងពង្រីកប្រភាគដោយប្រើពាក្យ \displaystyle ហើយនៅខាងចុងយើងអាចដំឡើងវាអោយកាន់តែធំដោយប្រើទំហំ s ដែលយើងត្រូវវាយដូចខាងក្រោមៈ
    &s=1$ ឬ &s=2$
    គីណាល់សាកល្បងទៅ

  3. pop pop និយាយថា ៖

    ប្រូប្លឹម ញាក់សាច់!

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: