Problem 304 Van Khea

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a+b+c=3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ

Let a, b, c be positive real numbers such that a+b+c=3. Prove that

29(a^2+b^2+c^2)+30abc\geq 6(ab^2+bc^2+ca^2)+99

Proof

Using the well-known identity a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9-2(ab+bc+ca)

Then the inequality above equivalent to

29(ab+bc+ca)+3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq 81+30abc

\Leftrightarrow 29.3(ab+bc+ca)+9(ab^2+bc^2+ca^2)\leq 243+90abc

\Leftrightarrow 29(a+b+c)(ab+bc+ca)+9(ab^2+bc^2+ca^2)\leq 243+90abc

\Leftrightarrow 29(a^2b+b^2c+c^2a)+38(ab^2+bc^2+ca^2)+42abc\leq 243

Let \displaystyle a=\frac{3x}{x+y+z}; b=\frac{3y}{x+y+z}; c=\frac{3z}{x+y+z}; \forall{x, y, z>0}

The inequality transforms into

29(x^2y+y^2z+z^2x)+38(xy^2+yz^2+zx^2)+42xyz\leq 9(x+y+z)^3

\Leftrightarrow 9(x^3+y^3+z^3)+12xyz\geq 3(x^2y+y^2z+z^2x)+11(xy^2+yz^2+zx^2)

\Leftrightarrow x(y+2z-3x)^2+y(z+2x-3y)^2+z(x+2y-3z)^2\geq 0

Which is clear true. Equality occurs for x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1

ទាញយកនៅទីនេះ​( download here)

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: