Problem 2 Van Khea: Functional equation

ចូរកំនត់អនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ (a, b) ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
\displaystyle (x-y)f(z)+(y-z)f(x)+(z-x)f(y)=0; \forall{x, y, z\in (a, b)}
សំរាយបញាក់
យើងពិនិត្យមើលករណី x=y=z នោះសមភាពកើតមានឡើង។ ដូចនេះយើងត្រូវពិនិត្យលើ x\neq y\neq z
យើងមានៈ
z-x=-((y-z)+(x-y)) នោះសមីការខាងលើអាចសរសេរទៅជាៈ
(x-y)(f(z)-f(y))+(y-z)(f(x)-f(y))=0
\displaystyle (x-y)(y-z)\biggl(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-\frac{f(z)-f(y)}{z-y}\biggl)=0
តាមទ្រឹស្ដីបទ Lagrange នោះយ៉ាងហោចណាស់មាន c_1\in (x, y) \& c_2\in (y, z) ដែលធ្វើអោយៈ
\displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(c_1)
\displaystyle \frac{f(z)-f(y)}{z-y}=f'(c_2)
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
(x-y)(y-z)(f'(c_1)-f'(c_2))=0
ដោយ x\neq y\neq z នោះយើងបានៈ f'(c_1)=f'(c_2)
តាមទ្រឹស្ដីបទ Rolle នោះនាំអោយមាន t\in (c_1, c_2) ដែលធ្វើអោយៈ
f''(t)=0
\Leftrightarrow f'(t)=p; p=const
\Rightarrow f(t)=pt+q; (p, q=const)
ដូចនេះអនុគមន៍ដែលត្រូវរកគឺ f(x)=px+q; (p, q=const)

2 Responses to Problem 2 Van Khea: Functional equation

  1. Pingback: Problem 4 Van Khea: functional equation « ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

  2. Pingback: Problem 7 Van Khea: functional equation « ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: