Problem 1 (Jensen’s function)

កំនត់អនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់ចំពោះគ្រប់ x ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
\displaystyle f\biggl(\frac{x+y}{2}\biggl)=\frac{f(x)+f(y)}{2}
សំរាយបញ្ជាក់
របៀបទី 1 post by van khea
យើងពិនិត្យមើលករណី x=y នោះសមភាពកើតមានឡើង។ ដូចនេះយើងពិនិត្យករណី x\neq y
សមីការខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle (f(\frac{x+y}{2})-f(x))-(f(y)-f(\frac{x+y}{2}))=0
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{y-x}{2}\biggl(\frac{f(\frac{x+y}{2}-f(x)}{\frac{x+y}{2}-x}-\frac{f(y)-f(\frac{x+y}{2})}{y-\frac{x+y}{2}}\biggl)=0
តាមទ្រឹស្ដីបទ Lagrange នោះយ៉ាងតិចមានចំនួន \displaystyle c_1\in (x, \frac{x+y}{2}); \& c_2\in (\frac{x+y}{2}, y) ដែលធ្វើអោយៈ
\displaystyle \frac{f(\frac{x+y}{2})-f(x)}{\frac{x+y}{2}-x}=f'(c_1)
\displaystyle \frac{f(y)-f(\frac{x+y}{2})}{y-\frac{x+y}{2}}=f'(c_2)
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{y-x}{2}(f'(c_1)-f'(c_2))=0
\displaystyle \Rightarrow f'(c_1)=f'(c_2)
តាមទ្រឹស្ដីបទ Rolle នាំអោយមាន t\in (c_1, c_2) ដែលធ្វើអោយ f'(t)=a; a=const
\Rightarrow f(t)=at+b
ដូចនេះយើងបាន f(x)=ax+b; a, b=const
របៀបទីពីរ post by (ceojimmyps)
មាន \displaystyle f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x)+f(y)}{2}
យក y=0
\displaystyle f(\frac{x}{2})=\frac{f(x)+f(0)}{2}
ជំនួស x ដោយ x+y
\displaystyle f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x+y)+f(0)}{2}
\displaystyle \Rightarrow \frac{f(x)+f(y)}{2}=\frac{f(x+y)+f(0)}{2}
f\left( x+y \right)+f\left( 0 \right)=f\left( x \right)+f\left( y \right)
f\left( x+y \right)-f\left( 0 \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( 0 \right) \right)+\left( f\left( y \right)-f\left( 0 \right) \right)
តាង g\left( x \right)=f\left( x \right)-f\left( 0 \right)
g\left( x+y \right)=g\left( x \right)+g\left( y \right) ជា​អនុគមន៍ Cauchy
នោះ g\left( x \right)=ax
ដូចនេះ f\left( x \right)=ax+b\,,\,\,b=f\left( 0 \right)

3 Responses to Problem 1 (Jensen’s function)

  1. ceojimmyps និយាយថា ៖

    មាន f\left( \frac{x+y}{2} \right)=\frac{f\left( x \right)+f\left( y \right)}{2}
    យក y=0
    f\left( \frac{x}{2} \right)=\frac{f\left( x \right)+f\left( 0 \right)}{2}
    ជំនួស x ដោយ x+y
    f\left( \frac{x+y}{2} \right)=\frac{f\left( x+y \right)+f\left( 0 \right)}{2}
    \frac{f\left( x \right)+f\left( y \right)}{2}=\frac{f\left( x+y \right)+f\left( 0 \right)}{2}
    f\left( x+y \right)+f\left( 0 \right)=f\left( x \right)+f\left( y \right)
    f\left( x+y \right)-f\left( 0 \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( 0 \right) \right)+\left( f\left( y \right)-f\left( 0 \right) \right)
    តាង g\left( x \right)=f\left( x \right)-f\left( 0 \right)
    g\left( x+y \right)=g\left( x \right)+g\left( y \right) ជា​អនុគមន៍Cauchy
    នោះ g\left( x \right)=ax
    ដូចនេះ f\left( x \right)=ax+b\,,\,\,b=f\left( 0 \right)

  2. ceojimmyps និយាយថា ៖

    សន្មត f មាន​ដេរីវេ
    ដេរីវេ​ធៀបx : \frac{1}{2}f'\left( \frac{x+y}{2} \right)=\frac{1}{2}f'\left( x \right)
    ដេរីវេធៀបy : \frac{1}{2}f'\left( \frac{x+y}{2} \right)=\frac{1}{2}f'\left( y \right)
    ផ្ទឹម​សមីការ​ទាំងពីរ ទាញ​បាន:
    f'\left( x \right)=f'\left( y \right)
    \int{f'\left( x \right)dx}=\int{f'\left( y \right)dx}\,,\,\,f'(y)=a
    f\left( x \right)=ax+b\,\,,\,\,b\in \mathbb{R}

    មិន​បាច់​គួរ​សម​ទេ​បង គ្នា​ឯង​ទេ! (I’m rainy :D)

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: