Problem 38 van khea: functional equations

រកគ្រប់អនុគមន៍ f:R\longrightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
\displaystyle \frac{f(x)+\alpha f(y)}{2}=f(\frac{x+\alpha y}{2}); \forall{x, y, \alpha \in R}
ចំលើយ
តាង f(1)=a; f(0)=b
យើងពិនិត្យករណី \alpha = 1 នោះយើងបាន \displaystyle \frac{f(x)+f(y)}{2}=f(\frac{x+y}{2}); \forall{x, y\in R}
ជាអនុគមន៍ Jesen ដូចនេះយើងទាញបាន f(x)=ax+b
ករណី \alpha \neq 1 នោះយើងជំនួស \alpha =0 យើងបានៈ
\displaystyle f(\frac{x}{2})=\frac{f(x)}{2}
យក x=0\Rightarrow f(0)=0
ចំពោះ \displaystyle x=1\Rightarrow f(\frac{1}{2})=\frac{f(1)}{2}=\frac{a}{2}
ចំពោះ \displaystyle x=\frac{1}{2}\Rightarrow f(\frac{1}{2^2})=\frac{a}{2^2}
តាមវាចារកំនើនយើងទាញបាន \displaystyle f(\frac{1}{2^n})=\frac{a}{2^n}\Rightarrow f(t)=at; t=\frac{1}{2^n} ប្តូរ t ទៅ x នោះយើងបាន f(x)=ax
យក x=0 នោះយើងទាញបានៈ \displaystyle f(\frac{\alpha y}{2})=\frac{\alpha f(y)}{2}
យក \displaystyle y=1\Rightarrow f(\frac{\alpha}{2})=\frac{\alpha}{2}f(1)=\frac{\alpha}{2}.a
យក \displaystyle t=\frac{\alpha}{2}\Rightarrow f(t)=at ជំនួស t ដោយ x នោះយើងនៅតែបានលទ្ធផល f(x)=ax
ដូចនេះយើងបានចំលើយគឺ \displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}ax+b;if, \alpha=1\\ax; if, \alpha \neq 1\end{array}\right.

Advertisements

Problem 306 Van Khea: inequality

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ abc=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b(c+3)}}+\sqrt{\frac{b}{c(a+3)}}+\sqrt{\frac{c}{a(b+3)}}\geq \frac{3}{2}

វិធីខ្លះៗដើម្បីរៀនវិសមភាពអោយពូកែ(១)

ជាការពិតណាស់នៅពេលដែលអ្នកឈានចូលមកដល់ប្លករបស់ខ្ញុំ ចំពោះអ្នកដែលចង់ចេះគណិតវិទ្យា ប្រាកដជាមានសំនួរមួយចង់សួរថា

តើត្រូវរៀនយ៉ាងម៉េចដើម្បីអោយចេះគណិតវិទ្យាដូចគេដូចឯងដែរ បញ្ហានេះវាបានដកនៅក្នុងចិត្តអ្នករហូតមក ហើយថ្ងៃនេះខ្ញុំនឹងលើកយក

នូវវិធីខ្លះៗមកស្រាយបំភ្លឺក៏ដូចជាជាផ្លូវមួយសំរាប់អ្នក ឬបើកគោលជំហរថ្មីអោយអ្នកផងដែរ។

បើយើងនិយាយដល់បញ្ហាគណិតវិទ្យាមួយម៉ាត់គឺវាមានទូលំទូលាយណាស់ មានច្រើនរាប់មិនអស់ទេ ហេតុនេះខ្ញុំមានសំនួរមួយថាតើអ្នក

ពិតជាចង់រៀនគណិតវិទ្យាអោយចេះអស់មែនទេ? ចំនុចនេះគឺមានចំលើយតែពីរគត់គឺចង់ឬមិនចង់។

ឥឡូវខ្ញុំចាប់ផ្ដើមពីគណិតវិទ្យាផ្នែកវិសមភាពមុនគេ ។ វិសមភាពគឺជាផ្នែកមួយក្នុងគណិតវិទ្យាវិភាគ អត្ថន័យសំខាន់ៗរបស់វាគឺប្រៀបធៀប

តំលៃនៃកន្សោមពីរផ្សេងគ្នាហើយមានទំនាក់ទំនងគ្នាតាមរយៈអថេរផ្សេងៗ, ស្រាយបញ្ជាក់, រកតំលៃបរមា, រកចំនុចទាល់, រកភាពកើន, …

វិសមភាពត្រូវបានចែកចេញជាច្រើនផ្នែកខុសៗគ្នាដូចជាវិសមភាពនៃចំនួនពិត វិសមភាពនៃអនុគមន៍ វិសមភាពក្នុងត្រីកោណ … ។ល។

ឥឡូវខ្ញុំលើកយកចំនុចមួយចំនួនក្នុងវិសមភាពនៃចំនួនពិតមកធ្វើជាឧទាហរណ៍គំរូ

មុននឹងអ្នកឈានជើងចូលប្រឡូកក្នុងវិសមភាព អ្នកត្រូវដឹងពីចំនុចចាប់ផ្ដើម ចំនុចបន្ទាប់ ហើយនិងចំនុចត្រូវធ្វើ បីចំនុចនេះវាអាចអោយអ្នក

យល់នូវជំហានទាំងឡាយក្នុងការអនុវត្តន៍ទ្រឹស្ដីបទ រូបមន្ត ឬវិធីសាស្រ្ដផ្សេងៗ ។

  1.  តើអ្នកត្រូវស្គាល់ចំនុចចាប់ផ្ដើមយ៉ាងដូចម្ដេច???
  • ផ្ដើមពីចំនុចដំបូងបង្អស់គឺត្រូវស្គាល់រាល់ឈ្មោះ និងនិមិត្តសញ្ញាទាំងអស់ដែលប្រើប្រាស់ក្នុងវិសមភាព។
  • របៀបប្រើប្រាស់របស់និមិត្តសញ្ញាទាំងនោះ
  • បែងចែកនិមិត្តសញ្ញាទៅតាមក្រុមរបស់វា
  • វិភាគលើការប្រែប្រួលនៃសញ្ញានីមួយៗដែលអាចកើតមាន
សូមរង់ចាំអានភាគបន្ត !!!
(សេចក្ដីសង្ឍឹមតែមួយគត់របស់ខ្ញុំគឺអ្នកអាចយល់ពីអ្វីដែលខ្ញុំកំពុងសរសេរ 😀 )

 

 

Problem 37 van khea: functional equation

ចូររកគ្រប់អនុគមន៍ជាប់ f:R\longrightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមៈ
(1); f(0)=2012
(2); \displaystyle 2f(x)=5f(2x)-3f(4x));\forall{x\in R}

reply from facebook (math problem)

គណនាកន្សោមៈ \displaystyle A=\frac{1}{1!\times 1999!}+\frac{1}{3!\times 1997!}+...+\frac{1}{1997!\times 3!}+\frac{1}{1999!\times 1!}
ចំលើយ

download here

Problem 36: functional equation

រកគ្រប់អនុគមន៍ជាប់ f:R\longrightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
\displaystyle f(xy)=f(\frac{x^2+y^2}{2})+(x-y)^2, \forall{x, y\in R}

Problem 35: functional equation

រកគ្រប់អនុគមន៍ជាប់ f:[0;1]\longrightarrow R ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមៈ
1) f(0)=f(1)=0
2) \displaystyle f(\frac{x+y}{2})\leq f(x)+f(y);\forall{x, y\in [0, 1]}