Problem 297 Van Khea

If a, b, c are positive real numbers. Prove that:
\displaystyle \frac{a+b}{b+c}.a^2+\frac{b+c}{c+a}.b^2+\frac{c+a}{a+b}.c^2\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2
Proof
From Cauchy-Schwarz we have
\displaystyle \frac{a+b}{b+c}.a^2+\frac{b+c}{c+a}.b^2+\frac{c+a}{a+b}.c^2\geq \frac{(a^{\frac{3}{2}}\sqrt{a+b}+b^{\frac{3}{2}}\sqrt{b+c}+c^{\frac{3}{2}}\sqrt{c+a})^2}{2(ab+bc+ca)}
But for a, b, c are positive real numbers then 3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2
\displaystyle \Rightarrow \frac{a+b}{b+c}.a^2+\frac{b+c}{c+a}.b^2+\frac{c+a}{a+b}.c^2\geq \frac{3(a^{\frac{3}{2}}\sqrt{a+b}+b^{\frac{3}{2}}\sqrt{b+c}+c^{\frac{3}{2}}\sqrt{c+a})^2}{2(a+b+c)^2}
Thus, we need to prove that
\displaystyle a^{\frac{3}{2}}\sqrt{a+b}+b^{\frac{3}{2}}\sqrt{b+c}+c^{\frac{3}{2}}\sqrt{c+a}\geq \frac{\sqrt{2}}{3}(a+b+c)^2
We have \displaystyle a^{\frac{3}{2}}\sqrt{a+b}+b^{\frac{3}{2}}\sqrt{b+c}+c^{\frac{3}{2}}\sqrt{c+a}\displaystyle =a^2\sqrt{1+\frac{b}{a}}+b^2\sqrt{1+\frac{c}{b}}+c^2\sqrt{1+\frac{a}{c}}\displaystyle =\frac{a^2}{\sqrt{\frac{a}{a+b}}}+\frac{b^2}{\sqrt{\frac{b}{b+c}}}+\frac{c^2}{\sqrt{\frac{c}{c+a}}}\displaystyle \geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}}
From Problem Vasile Cirtoaje we have
\displaystyle \sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}
\displaystyle \Rightarrow a^{\frac{3}{2}}\sqrt{a+b}+b^{\frac{3}{2}}\sqrt{b+c}+c^{\frac{3}{2}}\sqrt{c+a}\geq \frac{\sqrt{2}}{3}(a+b+c)^2
\displaystyle \Rightarrow (a^{\frac{3}{2}}\sqrt{a+b}+b^{\frac{3}{2}}\sqrt{b+c}+c^{\frac{3}{2}}\sqrt{c+a})^2\geq \frac{2}{9}(a+b+c)^4
\displaystyle \Rightarrow \frac{a+b}{b+c}.a^2+\frac{b+c}{c+a}.b^2+\frac{c+a}{a+b}.c^2\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2
Therefore the proof is completed. Equality occurs for a=b=c
របៀបទីពីរ ( Rainymathboy)
សន្មត a\ge b\ge c
ទាញបាន \displaystyle {{a}^{2}}\ge {{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}
\displaystyle a+b\ge c+a\ge b+c និង​ \frac{1}{b+c}\ge \frac{1}{c+a}\ge \frac{1}{a+b}
នោះ \displaystyle \frac{{{a}^{2}}}{b+c}\ge \frac{{{b}^{2}}}{c+a}\ge \frac{{{c}^{2}}}{a+b}
តាមវិសមភាព​តំរៀប (Rearrangement​ inequality) យើងមានៈ
បើ​ \displaystyle {{a}_{1}}\ge {{a}_{2}}\ge \ldots \ge {{a}_{n}}​ និង {{b}_{1}}\ge {{b}_{2}}\ge \ldots \ge {{b}_{n}}
តាង \displaystyle A={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}{{b}_{n}}
\displaystyle B={{a}_{1}}{{b}_{\sigma (1)}}+{{a}_{2}}{{b}_{\sigma (2)}}+\ldots +{{a}_{n}}{{b}_{\sigma (n)}}
\displaystyle C={{a}_{1}}{{b}_{n}}+{{a}_{2}}{{b}_{n-1}}+\ldots +{{a}_{n}}{{b}_{1}}
នាំអោយ A\ge B\ge C
យើងទាញបានៈ
\displaystyle A=\frac{{{a}^{2}}}{b+c}(a+b)+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}(c+a)+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}(b+c)
\displaystyle B=\frac{{{a}^{2}}}{b+c}(a+b)+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}(b+c)+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}(c+a)
\displaystyle C=\frac{{{a}^{2}}}{b+c}(b+c)+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}(c+a)+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}(a+b)
យើងយកលក្ខខណ្ឌ​ B\ge C មក​ប្រើ​នោះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{{{a}^{2}}}{b+c}(a+b)+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}(b+c)+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}(c+a)
\displaystyle \ge \frac{{{a}^{2}}}{b+c}(b+c)+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}(c+a)+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}(a+b)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}
\displaystyle a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

17 Responses to Problem 297 Van Khea

  1. Rainy Sokhonn និយាយថា ៖

    ដោយ​មិន​បាត់​បង់​លក្ខណៈ​ទូទៅ (W.L.O.G) ខ្ញុំ​សន្មត​ថា a\ge b\ge c
    យើង​បាន \left( a+b \right){{a}^{2}}\ge \left( b+c \right){{b}^{2}}\ge \left( c+a \right){{c}^{2}}
    និង \frac{1}{c+a}\ge \frac{1}{b+a}\ge \frac{1}{a+b}
    តាម​វិសមភាព​តម្រៀប (Rearrangement) យើង​បាន
    \frac{a+b}{b+c}.{{a}^{2}}+\frac{b+c}{c+a}.{{b}^{2}}+\frac{c+a}{a+b}.{{c}^{2}}\ge \frac{a+b}{a+b}.{{a}^{2}}+\frac{b+c}{b+c}.{{b}^{2}}+\frac{c+a}{c+a}.{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}
    តែ​តាម​ Lemma Cauchy-Schwarz
    {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{1}+\frac{{{b}^{2}}}{1}+\frac{{{c}^{2}}}{1}\ge \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3}

    ដូចនេះ
    \frac{a+b}{b+c}.{{a}^{2}}+\frac{b+c}{c+a}.{{b}^{2}}+\frac{c+a}{a+b}.{{c}^{2}}\ge \frac{1}{3}{{(a+b+c)}^{2}}

  2. Rainy Sokhonn និយាយថា ៖

    ហេតុ​អី​ខ្ញុំ​មើល​អត់​ឃើញ??
    សាក​ល្បង​សារ​ជា​ថ្មី!
    ដោយ​មិន​បាត់​បង់​លក្ខណៈ​ទូទៅ (W.L.O.G) ខ្ញុំ​សន្មត​ថា a\ge b\ge c
    យើង​បាន \left( a+b \right){{a}^{2}}\ge \left( b+c \right){{b}^{2}}\ge \left( c+a \right){{c}^{2}}
    និង \frac{1}{c+a}\ge \frac{1}{b+a}\ge \frac{1}{a+b}
    តាម​វិសមភាព​តម្រៀប (Rearrangement) យើង​បាន
    \frac{a+b}{b+c}.{{a}^{2}}+\frac{b+c}{c+a}.{{b}^{2}}+\frac{c+a}{a+b}.{{c}^{2}}\ge \frac{a+b}{a+b}.{{a}^{2}}+\frac{b+c}{b+c}.{{b}^{2}}+\frac{c+a}{c+a}.{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}
    តែ​តាម​ Lemma Cauchy-Schwarz
    {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{1}+\frac{{{b}^{2}}}{1}+\frac{{{c}^{2}}}{1}\ge \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3}

    ដូចនេះ
    \frac{a+b}{b+c}.{{a}^{2}}+\frac{b+c}{c+a}.{{b}^{2}}+\frac{c+a}{a+b}.{{c}^{2}}\ge \frac{1}{3}{{(a+b+c)}^{2}}

  3. vankhea និយាយថា ៖

    (b+c)b^2\geq (c+a)c^2 ?? សូមហេតុផល

  4. rainymathboy និយាយថា ៖

    តាង​ខុស!
    តាម​នេះ​វិញ​ប្រហែល​ជា​ត្រូវ​:
    សន្មត a\ge b\ge c
    ទាញបាន {{a}^{2}}\ge {{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}
    a+b\ge c+a\ge b+c និង​ \frac{1}{b+c}\ge \frac{1}{c+a}\ge \frac{1}{a+b}
    នោះ \frac{{{a}^{2}}}{b+c}\ge \frac{{{b}^{2}}}{c+a}\ge \frac{{{c}^{2}}}{a+b}
    តាម Rearrangement ពេញ​លេញ:
    \frac{{{a}^{2}}}{b+c}(a+b)+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}(c+a)+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}(b+c)
    \ge \frac{{{a}^{2}}}{b+c}(a+b)+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}(b+c)+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}(c+a)
    \ge \frac{{{a}^{2}}}{b+c}(b+c)+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}(c+a)+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}(a+b)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}
    យក​អា​ពីរ​កង់​ចុង​ក្រោយ​មក​ប្រើ​ជា​ការ​ស្រេច

  5. vankhea និយាយថា ៖

    ខ្ញុំបានស្រាយទ្រឹស្ដីបទខាងលើរួចហើយ គឺវាពិតជានិច្ច។

    ដូចនេះចំលើយ Rainy គឺត្រឹមត្រូវយកទទួលយកបាន អរគុណ Rainy ច្រើន។

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: