Problem 299 Van Khea

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a^4+b^4+c^4=3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{a^3}{\sqrt{b^4+c^4}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^4+a^4}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^4+b^4}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}
សំរាយបញ្ជាក់
តាង a=\sqrt{x}; b=\sqrt{y}; c=\sqrt{z}\Rightarrow x^2+y^2+z^2=3
ជំនួសតំលៃ a, b, c ចូលវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{y^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{z^2+x^2}}+\frac{z^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x^2+y^2}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}
តាមវិសមភាព Cauchy-Schwarz យើងមានៈ
\displaystyle (x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)\biggl(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{y^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{z^2+x^2}}+\frac{z^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x^2+y^2}}\biggl)\displaystyle \geq \biggl(\frac{x^{\frac{11}{6}}}{\sqrt[6]{y^2+z^2}}+\frac{y^{\frac{11}{6}}}{\sqrt[6]{z^2+x^2}}+\frac{z^{\frac{11}{6}}}{\sqrt[6]{x^2+y^2}}\biggl)^3
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ \displaystyle \frac{x^{\frac{11}{6}}}{\sqrt[6]{y^2+z^2}}=\frac{(x^2)^{\frac{7}{6}}}{\sqrt[6]{x^3y^2+z^2x^3}}
ធ្វើដូចគ្នាយើងបានៈ
\displaystyle \frac{x^{\frac{11}{6}}}{\sqrt[6]{y^2+z^2}}+\frac{y^{\frac{11}{6}}}{\sqrt[6]{z^2+x^2}}+\frac{z^{\frac{11}{6}}}{\sqrt[6]{x^2+y^2}}\displaystyle =\frac{(x^2)^{\frac{7}{6}}}{\sqrt[6]{x^3y^2+z^2x^3}}+\frac{(y^2)^{\frac{7}{6}}}{\sqrt[6]{y^3z^2+x^2y^3}}+\frac{(z^2)^{\frac{7}{6}}}{\sqrt[6]{z^3x^2+y^2z^3}}
ដោយ \displaystyle \frac{7}{6}-\frac{1}{6}=1 នោះតាម Problem VanKhea inequality យើងបានៈ
\displaystyle \frac{(x^2)^{\frac{7}{6}}}{\sqrt[6]{x^3y^2+z^2x^3}}+\frac{(y^2)^{\frac{7}{6}}}{\sqrt[6]{y^3z^2+x^2y^3}}+\frac{(z^2)^{\frac{7}{6}}}{\sqrt[6]{z^3x^2+y^2z^3}}\displaystyle \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{7}{6}}}{\sqrt[6]{x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2+x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3}}
ម្យ៉ាងទៀតចំពោះ x^2+y^2+z^2=3\Rightarrow x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2+x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3\leq 6
\displaystyle \Rightarrow \frac{x^{\frac{11}{6}}}{\sqrt[6]{y^2+z^2}}+\frac{y^{\frac{11}{6}}}{\sqrt[6]{z^2+x^2}}+\frac{z^{\frac{11}{6}}}{\sqrt[6]{x^2+y^2}}\displaystyle \geq \frac{3}{2^{\frac{1}{6}}}
\displaystyle \Rightarrow 9\biggl(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{y^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{z^2+x^2}}+\frac{z^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x^2+y^2}}\biggl)\geq \frac{3^3}{\sqrt{2}}
\displaystyle \Rightarrow \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{y^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{z^2+x^2}}+\frac{z^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x^2+y^2}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1

ទាញយកចំលើយ problem 299 នៅទីនេះ

3 Responses to Problem 299 Van Khea

  1. oak.panha និយាយថា ៖

    ពិតជាពិបាកណាស់សម្រាប់ខ្ញុំ ព្រោះអត់ដឹងថាត្រូវទាញយកទុកជាឯកសារយ៉ាងម៉េចទេ។ តើបងប្រុស អាចជួយដាក់តំណភ្ជាប់មួយ សម្រាប់អាចទាញយកបាន បានទេ? ជាឯកសារ Doc ឬ PDF ក៏បានដែរ។🙂

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: