Problem 283 Van Khea

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a+b+c=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{1}{a^2+b^2+c^2+1}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{21}{4}
សំរាយបញ្ជាក់
យើងពិនិត្យករណី \displaystyle a=b=c=\frac{1}{3} នោះសមមភាពកើតមានឡើង។
ដូចនេះយើងតាង \displaystyle a=\sqrt{\frac{x}{3(x+y+z)}};b=\sqrt{\frac{y}{3(x+y+z)}};c=\sqrt{\frac{z}{3(x+y+z)}}
យើងបានៈ \displaystyle a^2+b^2+c^2=\frac{1}{3}
តែតាមសម្មតិកម្មយើងមាន \displaystyle a+b+c=1\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{3(x+y+z)}
យកតំលៃ a, b, c ជំនួសចូលវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
\displaystyle \frac{3}{4}+\sqrt{3(x+y+z)}\biggl(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\biggl)\geq \frac{21}{4}
\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{3(x+y+z)}\biggl(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\biggl)\geq \frac{9}{2}
តាមវិសមភាព Cauchy-Schwarz យើងមានៈ
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\geq \frac{9}{2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})}=\frac{9}{2\sqrt{3(x+y+z)}}
\displaystyle \Rightarrow \sqrt{3(x+y+z)}\biggl(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\biggl)\geq \frac{9}{2} ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល \displaystyle x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}
ចង់ស្វែងយល់បន្ថែមសូមទិញសៀវភៅ សញ្ញាណដំបូងនៃវិសមភាព របស់អ្នកនិពន្ធ វ៉ាន់ ឃា មើលទៅ😀

22 Responses to Problem 283 Van Khea

  1. វ័ន្ត ច័ន្ទមករា និយាយថា ៖

    តាមរូបមន្តវិសមភាពទៅ!

  2. Rainy Sokhonn និយាយថា ៖

    តាម Jensen តាង \latex [f(x)=\frac{1}{1-x}\]
    ដែល​មាន \latex [f”(x)=\frac{1}{{{(1-x)}^{3}}}>0\]
    នោះ
    \latex [\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=f(c)+f(a)+f(b)\]
    \latex [\ge 3\cdot f\left( \frac{a+b+c}{3} \right)=3\cdot f\left( \frac{1}{3} \right)=3\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{9}{2}\]
    ដូច្នេះ​ យើង​ត្រូវ​ស្រាយ​ថា \latex [\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1}\ge \frac{21}{4}-\frac{9}{2}=\frac{3}{4}\]
    \latex [\Leftrightarrow 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\le 1\]
    \latex [\Leftrightarrow 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\le {{\left( a+b+c \right)}^{2}}\]
    \latex [\Leftrightarrow 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\le 2\left( ab+bc+ca \right)\]
    \latex [\Leftrightarrow {{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(c-a)}^{2}}\le 0\]

    ចុម!!!

  3. kheavan និយាយថា ៖

    ចង់មើលចំលើយអត់ ?? លំហាត់នឹងខ្ញុំអាចធ្វើបានពីររបៀបអាមួយស្រួល ហើយអាមួយទៀតពិបាក😀

  4. kheavan និយាយថា ៖

    លំហាត់ខ្ញុំបើគិតត្រង់ៗគឺមិនចេញទេ បើចេះគិតវេចវេប្រហែលជាមានសង្ឃឹមជាង😀

  5. Long និយាយថា ៖

    តោះទៅផឹកបង! ក្តៅក្រហាយការប្រលងណាស់!

  6. vankhea និយាយថា ៖

    ចុម គិតម៉េចចេះ ហិហិ ហើយខូចចិត្តរឿងប្រឡងអីដែរបានជាដល់ថ្នាក់ចង់ផឹក ?
    បើថាខូចចិត្តតិចតួចកុំយកស្រាចូលពោះអី
    តែបើខូចចិត្តខ្លាំងយើងផឹកហើយ យើងនាំគ្នាទៅច្រៀងខារាអូខេស្រីអោប ហាហាហា

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: