Problem 282 van khea

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ ab+bc+ca=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle a+b+c+abc\geq \frac{10\sqrt{3}}{9}
សំរាយបញ្ជាក់
យើងពិនិត្យបើ \displaystyle a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}} នោះសមភាពកើតមានឡើង។
ដូចនេះយើងអាចតាង \displaystyle a=\frac{xy}{z^2\sqrt{3}};b=\frac{yz}{x^2\sqrt{3}};c=\frac{zx}{y^2\sqrt{3}} ចំពោះគ្រប់ x, y, z>0
យើងបានៈ \displaystyle ab+bc+ca=\frac{1}{3}(\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy})=1
\displaystyle \Rightarrow \frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}=3
\displaystyle a+b+c+abc\geq \frac{10\sqrt{3}}{9}\displaystyle \Leftrightarrow \frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{x^2}\geq 3
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាចំពោះ \displaystyle \frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}=3 គេបានៈ \displaystyle \frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{x^2}\geq 3
តាមវិសមភាព Cauchy-Schwarz យើងមានៈ
\displaystyle 3^2=\biggl(\frac{x}{\sqrt{yz}}.\frac{\sqrt{yz}}{x}+\frac{y}{\sqrt{zx}}.\frac{\sqrt{zx}}{y}+\frac{z}{\sqrt{xy}}.\frac{\sqrt{xy}}{z}\biggl)^2\displaystyle \leq \biggl(\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}\biggl)\biggl(\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}\biggl)
\displaystyle \Leftrightarrow 3^2\leq 3\biggl(\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{x^2}\biggl)
\displaystyle \Rightarrow \frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{x^2}\geq 3 ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល \displaystyle x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}
វិភាគៈ
+ ហេតុអ្វីបានជាយើងហ៊ានតាង \displaystyle a=\frac{xy}{z^2\sqrt{3}};b=\frac{yz}{x^2\sqrt{3}};c=\frac{zx}{y^2\sqrt{3}} ចំពោះគ្រប់ x, y, z>0 ???
+ ហេតុអ្វីបានជាយើងមិនសន្និដ្ឋានថា \displaystyle \frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{x^2}\geq 3 ដោយប្រើវិសមភាព AM-GM ???
ចំនុចគួរពិចារណាៈ
+ បើសិនជា ab+bc+ca\leq 1 នោះការតាងខាងលើយ៉ាងម៉េចដែរ???
+ បើសិនជាយើងសន្និដ្ឋានថា \displaystyle \frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{x^2}\geq 3 ដោយប្រើវិសមភាព AM-GM នោះនាំអោយយើងអនុវត្តន៍ដោយបោះបង់សម្មតិកម្មលំហាត់។
ដូចនេះទាំងការតាងនិងការសំរាយបញ្ជាក់មានសរសេរយ៉ាងលំអិតនៅក្នុងសៀវភៅ “” សញ្ញាណដំបូងនៃវិសមភាព“” របស់អ្នកនិពន្ទ Van Khea

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: