Problem 273 van khea

ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះបណ្ដាចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ដែល abc=1 គេបានៈ
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}
សំរាយបញ្ជាក់
នេះជាលំហាត់វិសមភាពសមញ្ញបំផុតហើយខ្ញុំបានប្រទះឃើញមានសៀវភៅជាច្រើនបានស្រាយបញ្ជាក់ហើយដែរ។ ហើយខ្ញុំគ្រាន់តែយកវាមកស្រាយបញ្ជាក់សារជាថ្មីម្ដងទៀត ព្រោះថាវាជាវិសមភាពមូលដ្ឋានមួយដ៏សំខាន់ក្នុងការបំលែងវិសមភាពផ្សេងៗអោយមករាងធម្មតា។
ហើយនៅក្នុងបញ្ហាមួយដែលអ្នកធ្វើលំហាត់តែងតែងផ្ដោតទៅលើនោះគឺលក្ខខណ្ឌដូចជា abc=1 នោះយើងតាងយកភ្លាមជាមួយតំលៃនៃ x, y, z>0 ដែល \displaystyle a=\frac{x}{y}; b=\frac{y}{z}; c=\frac{z}{x} ចុះហេតុអ្វីបានជាយើងមិនតាង \displaystyle a=\frac{x+y}{y+z}; b=\frac{y+z}{z+x};c=\frac{z+x}{x+y} ????
ចំពោះបញ្ហាដែលតាង \displaystyle a=\frac{x+y}{y+z}; b=\frac{y+z}{z+x};c=\frac{z+x}{x+y} នៅមិនទាន់មានសៀវភៅណាមួយបានបញ្ជាក់អោយច្បាស់ពីររបៀបតាងនេះទេ។ ហើយក៏នៅមានវិធីមួយចំនួនទៀតក្នុងការតាងនេះដែរដូចជាតាង \displaystyle (p+q)a=p+q\frac{x}{y};(p+q)b=p+q\frac{y}{z};(p+q)c=p+q\frac{z}{x}\forall{x, y, z>0} តាមរយៈ abc=1 នោះយើងបានៈ \displaystyle (p+q\frac{x}{y})(p+q\frac{y}{z})(p+q\frac{z}{x})=(p+q)^3
តើនៅពេលណាយើងត្រូវតាងអោយត្រូវនឹងសំណើរលំហាត់ដែលយើងចង់បាន ???
តាមគំនិតខ្ញុំផ្ទាល់ក្នុងការតាងនេះ
ទីមួយពិនិត្យមើលលើវិសមភាពតើតំលៃដែលធ្វើអោយសមភាពកើតឡើងនៅត្រង់ a=b=c=1 ?? នោះយើងអាចប្រើវិធីទីមួយនិងទីបីក្នុងការតាង។
ទីពីរក្នុងលក្ខណដែល a, b, c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណគេអាចតាងបានពីររបៀបក្នុងបីរបៀបខាងលើ តែការតាងតាមរបៀបទីពីរជាករណីពិសេសនៃលំហាត់វិសមភាពកំរ។
ឧទាហរណ៍ Problem 192VanKhea ចំពោះ a, b, c>0 ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយដែល abc=1 នោះគេបានៈ
\displaystyle (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\geq \frac{1}{2}((ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2)
ដើម្បីអោយច្បាស់បន្ថែមមិត្តអ្នកអានទាំងអស់អាចទៅទិញមើលបន្ថែមក្នុងសៀវភៅ “” សញ្ញាណដំបូងនៃវិសមភាព“” របស់អ្នកនិពន្ធ វ៉ាន់ ឃា
ចំពោះវិសមភាពខាងលើយើងអាចតាង \displaystyle a=\frac{x}{y}; b=\frac{y}{z}; c=\frac{z}{x} នោះវិសមភាពសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \sqrt{\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{y+x}}+\sqrt{\frac{z}{z+y}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}
\displaystyle \Leftrightarrow \biggl(\sqrt{\frac{2z}{z+x}}+\sqrt{\frac{2y}{x+y}}+\sqrt{\frac{2z}{y+z}}\biggl)^2\leq 9
តាង \displaystyle P^2=\biggl(\sqrt{\frac{2x}{z+x}}+\sqrt{\frac{2y}{x+y}}+\sqrt{\frac{2z}{y+z}}\biggl)^2
\displaystyle P^2=\biggl(\sqrt{\frac{2x(x+y)}{(x+y)(x+z)}}+\sqrt{\frac{2y(y+z)}{(y+x)(y+z)}}+\sqrt{\frac{2z(z+x)}{(z+x)(z+y)}}\biggl)^2
\displaystyle \leq 2(x+y+z)\biggl(\frac{2x}{(x+y)(x+z)}+\frac{2y}{(y+x)(y+z)}+\frac{2z}{(z+x)(z+y)}\biggl)\leq 9
\displaystyle \Leftrightarrow 8(x+y+z)(xy+yz+zx)\leq 9(x+t)(y+z)(z+x)
\displaystyle \Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\geq 6xyz
តាមវិសមភាព AM-GM យើងបានៈ
x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\geq 6\sqrt[6]{x^6y^6z^6}=6xyz ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវស្រាយបញ្ចាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: