Problem 267 Van Khea

ឧបមាថាគេមានបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a^2+b^2+c^2=3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{3}(a+b+c)+1
សំរាយបញ្ជាក់
\bigstar របៀបទីមួយ
តាម Problem 265 VanKhea ចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a^2+b^2+c^2=3 នោះគេបានៈ
\displaystyle ab+bc+ca\geq \frac{2}{3}abc(a+b+c)+1
ចែកអង្គទាំងពីនឹង abc យើងបានៈ
\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{3}(a+b+c)+\frac{1}{abc}
ម្យ៉ាងទៀតតាមវិសមភាព AM-GM យើងមានៈ
a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}
\Leftrightarrow 3\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}
\displaystyle \Rightarrow 1\geq abc\Leftrightarrow \frac{1}{abc}\geq 1
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{3}(a+b+c)+1
សមភាពកើតមានពេល a=b=c=1
\bigstar របៀបទីពីរ
វិសមភាពខាងលើអាចសរសេរទៅជាៈ
\displaystyle \frac{3-2a^2}{a}+\frac{3-2b^2}{c}+\frac{3-2c^2}{c}\geq 3
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{a}+\frac{c^2+a^2-b^2}{b}\geq 3
តាង u=a^2+b^2-c^2;v=b^2+c^2-a^2;w=c^2+a^2-b^2
យើងបានៈ u+v+w=a^2+b^2+c^2=3
\displaystyle a=\sqrt{\frac{w+u}{2}};b=\sqrt{\frac{u+v}{2}};c=\sqrt{\frac{v+w}{2}}
ជំនួសចូលវិសមភាពខាងលើយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{u}{\sqrt{v+w}}+\frac{v}{\sqrt{w+u}}+\frac{w}{\sqrt{u+v}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}
យើងមានៈ \displaystyle \frac{u}{\sqrt{v+w}}+\frac{v}{\sqrt{w+u}}+\frac{w}{\sqrt{u+v}}=\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{uv+wu}}+\frac{v^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{vw+uv}}+\frac{w^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{wu+vu}}
\displaystyle \geq \frac{(u+v+w)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2(uv+vw+wu)}}
ដោយ \displaystyle uv+vw+wu\leq \frac{1}{3}(u+v+w)^2 នោះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{u}{\sqrt{v+w}}+\frac{v}{\sqrt{w+u}}+\frac{w}{\sqrt{u+v}}\geq \frac{\sqrt{3}(u+v+w)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2}(u+v+w)}=\frac{3}{\sqrt{2}} ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=1

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: