Problem 262 (vankhea)

ឧបមាថាគេមានបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន x, y, z ផ្ទៀងផ្ទាត់ (1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=8 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{1+x}{1+x^2}+\frac{1+y}{1+y^2}+\frac{1+z}{1+z^2}\displaystyle \geq \frac{9}{32}.\frac{(1+x)^2(1+y)^2(1+z)^2}{3+x+y+z}
សំរាយបញ្ជាក់
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{(1+x^2)(1+y^2)}{(1+x)(1+y)}+\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{(1+y)(1+z)}+\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{(1+z)(1+x)}\displaystyle \geq \frac{9}{4}\frac{(1+x)(1+y)(1+z)}{3+x+y+z}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ \displaystyle (1+x^2)(1+y^2)\geq \frac{1}{4}(1+x)(1+y)
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle (1+x)(1+y)+(1+y)(1+z)+(1+z)(1+x)\geq \frac{9(1+x)(1+y)(1+z)}{3+x+y+z}
\displaystyle \Leftrightarrow (3+x+y+z)\biggl((1+x)(1+y)+(1+y)(1+z)+(1+z)(1+x)\biggl)\geq 9(1+x)(1+y)(1+z)
តាមវិសមភាព AM-GM យើងមានៈ
3+x+y+z=1+x+1+y+1+z\geq 3\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}
(1+x)(1+y)+(1+y)(1+z)+(1+z)(1+x)\geq 3\sqrt[3]{(1+x)^2(1+y)^2(1+z)^2}
គុណអង្គនិងអង្គនៃវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
\displaystyle (3+x+y+z)\biggl((1+x)(1+y)+(1+y)(1+z)+(1+z)(1+x)\biggl)\geq 9(1+x)(1+y)(1+z)
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល x=y=z=1

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: