Problem 255 (van khea)

ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ
\displaystyle a^3+b^3+c^3+3abc\geq \frac{2}{9}(a+b+c)^3
សំរាយបញ្ជាក់
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle 2a^3+2abc+2b^3+2abc+2c^3+2abc\geq \frac{4}{9}(a+b+c)^3
យើងមានៈ 2a^3+2abc=a^3+a^2b+ca^2+abc+a^3-a^2b-ca^2+abc
\Leftrightarrow 2a^3+2abc=a(a+b)(a+c)+a(a-b)(a-c)
ដូចនេះយើងបានៈ \displaystyle 2a^3+2b^3+2c^3+6abc=\sum_{cyc}a(a+b)(a+c)+\sum_{cyc}a(a-b)(a-c)
នោះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \sum_{cyc}a(a+b)(a+c)+\sum_{cyc}a(a-b)(a-c)\geq \frac{4}{9}(a+b+c)^3
ម្យ៉ាងទៀតតាមវិសមភាព Schur យើងមាន \displaystyle \sum_{cyc}a(a-b)(a-c)\geq 0
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ \displaystyle \sum_{cyc}a(a+b)(a+c)\geq \frac{4}{9}(a+b+c)^3
យើងមានៈ \displaystyle a(a+b)(a+c)=\frac{a^3}{\biggl(\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\biggl)^2}
\displaystyle \Rightarrow \sum_{cyc}a(a+b)(a+c)=\sum_{cyc}\frac{a^3}{\biggl(\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\biggl)^2}
ដោយ 3-2=1 តាម ProblemVanKhea inequality យើងបានៈ
\displaystyle \sum_{cyc}a(a+b)(a+c)\geq \frac{(a+b+c)^3}{\biggl(\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\biggl)^2}
ឥឡូវយើងនឹងស្រាយថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c យើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{3}{2}
តាង u^2=a+b; v^2=b+c; w^2=c+a នោះយើងទាញបានៈ
2a=w^2+u^2-v^2; 2b=u^2+v^2-w^2; 2c=v^2+w^2-u^2
ជំនួសចូលវិសមភាពខាងលើយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{u^2+v^2-w^2}{2uv}+\frac{v^2+w^2-u^2}{2vw}+\frac{w^2+u^2-v^2}{2wu}\leq \frac{3}{2}
\displaystyle \Leftrightarrow (u^2+v^2-w^2)w+(v^2+w^2-u^2)u+(w^2+u^2-v^2)v\leq 3uvw
\Leftrightarrow u^3+v^3+w^3+3uvw\geq (u+v)uv+(v+w)vu+(w+u)wu
តាមវិសមភាព Schur វិសមភាពខាងលើពិតជានិច្ច។
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \sum_{cyc}a(a+b)(a+c)\geq \frac{(a+b+c)^3}{(\frac{3}{2})^2}
\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{cyc}a(a+b)(a+c)\geq \frac{4}{9}(a+b+c)^3 ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: