Problem 254 (vankhea 2011.8 inequality)

គេអោយ a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
(a^2+b^2+c^2)^2+3abc(a+b+c)\leq 3ab(a^2+b^2)+3bc(b^2+c^2)+3ca(c^2+a^2)

រូបខាងលើនេះគឺខ្ញុំយកអាវអ្នកបង្ហាញម៉ូតបុរាញខ្មែរម្នាក់មកពាក់សាក បូកថែមនឹងវែនតាលួចគេ និងទង់ជ័យបាល់ទាត់ឆ្នាំ 2009 បានក្លាយជាអ្នកកំប្លែងបែបឡប់ៗ hihi
សំរាយបញ្ជាក់
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle (a^2+b^2-c^2)ab+(b^2+c^2-a^2)bc+(c^2+a^2-b^2)ca\geq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2
តាង x=a^2+b^2-c^2; y=b^2+c^2-a^2; z=c^2+a^2-b^2
យើងបានៈ
2a^2=z+x; 2b^2=x+y; 2c^2=y+z ជំនួសចូលវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
\displaystyle x\sqrt{(x+y)(x+z)}+y\sqrt{(y+x)(y+z)}+z\sqrt{(z+x)(z+y)}\displaystyle \geq \frac{2}{3}(x+y+z)^2
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle x\sqrt{(x+y)(x+z)}=\frac{x^2}{\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}}
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle x\sqrt{(x+y)(x+z)}+y\sqrt{(y+x)(y+z)}+z\sqrt{(z+x)(z+y)}\displaystyle \geq \frac{x^2}{\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}}+\frac{y^2}{\frac{y}{\sqrt{(y+x)(y+z)}}}+\frac{z^2}{\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}}\displaystyle \geq \frac{(x+y+z)^2}{\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(y+x)(y+z)}}+\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}}
តាង \displaystyle A=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(y+x)(y+z)}}+\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}
យើងនឹងស្រាយថាចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន x, y, z យើងបានៈ \displaystyle A\leq \frac{3}{2}
តាង u^2=x+y; v^2=y+z; w^2=z+x
\Rightarrow 2x=w^2+u^2-v^2; 2y=u^2+v^2-w^2; 2z=v^2+w^2-u^2
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{u^2+v^2-w^2}{2uv}+\frac{v^2+w^2-u^2}{2vw}+\frac{w^2+u^2-v^2}{2wu}
\displaystyle A\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{u^2+v^2-w^2}{2uv}+\frac{v^2+w^2-u^2}{2vw}+\frac{w^2+u^2-v^2}{2wu}\leq \frac{3}{2}
\Leftrightarrow (u^2+v^2-w^2)w+(v^2+w^2-u^2)u+(w^2+u^2-v^2)v\leq 3uvw
\displaystyle \Leftrightarrow u^3+v^3+w^3+3uvw\geq (u+v)uv+(v+w)vw+(w+u)wu
ដូចនេះយើងឃើញថាតាមវិសមភាព Schur វិសមភាពខាងលើពិតជានិច្ច។ ដូចនេះយើងបានៈ \displaystyle A\leq \frac{3}{2}
\displaystyle x\sqrt{(x+y)(x+z)}+y\sqrt{(y+x)(y+z)}+z\sqrt{(z+x)(z+y)}\displaystyle \geq \frac{2}{3}(x+y+z)^2 ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល x=y=z\Leftrightarrow a=b=c

4 Responses to Problem 254 (vankhea 2011.8 inequality)

  1. អនាមិក និយាយថា ៖

    សួស្តីបងវ៉ាន់ឃា!! ខ្ញុំទីកុយនិយាយ បងសុខសប្បាយទេបង បងអាចមានពេលនិយាយស្កាយបានទេបង​ ខ្ញុំសុំបងនិយាយស្កាយ​ ហើយមាននារីម្នាក់ដែលបងនិយាយនោះគេជានរណាពិតជាអស្ចារ្យមែនបង​ ហាស​ ហាស!!!!អរគុណ

    • kheavan និយាយថា ៖

      អរគុណទីកុយច្រើន។ ដោយសារប៉ុន្មានថ្ងៃមុនបងរវល់លេងហ្គេម ទើបមិនបានជជែកលែងជាមួយ។ ឥឡូវការប្រកួតលេងហ្គេម
      របស់បងគឺបានបញ្ចប់ហើយ ដូចនេះបងមានពេលទំនេរច្រើនណាស់គឺក្នុងកំឡុង 12​ថ្ងៃរាប់ចាប់ពីថ្ងៃនេះទៅដល់ថ្ងៃទី 12
      បើទីកុយចង់ជជែកលេងគឺប្រាកដជាបាន។ បងស្វាគមន៍ទីកុយជានិច្ច។
      ហើយនារីគឺពិតជាអស្ចារ្យមែនហើយ បើទីកុយចង់ឃើញនិងចង់ស្គាល់ទីកុយចូល facebook មើលទៅ។ រាវរកជាមួយឈ្មោះ Laygech,:D

  2. Pingback: Problem 268 Van Khea « ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

  3. Pingback: កំណែលំហាត់ 280 Van Khea « ចំណេះដឹងនិងចំណេះធ្វើ !!!

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: