Problem 251 (van khea)

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ a\leq b\leq c និង a+b+c=3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \sqrt[4]{a(a+b)}+\sqrt[4]{b(b+c)}+\sqrt[4]{c(c+a)}\geq \frac{\sqrt[4]{2}}{3}(ab+bc+ca)^2
សំរាយបញ្ជាក់
យើងមានៈ
\displaystyle \sqrt[4]{a(a+b)}=\frac{\sqrt[4]{a}}{\frac{1}{\sqrt[4]{a+b}}}=\frac{a}{\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[4]{a+b}}}=\frac{(\sqrt{a})^2}{\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[4]{a+b}}}
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \sqrt[4]{a(a+b)}+\sqrt[4]{b(b+c)}+\sqrt[4]{c(c+a)}\displaystyle =\frac{(\sqrt{a})^2}{\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[4]{a+b}}}+\frac{(\sqrt{b})^2}{\frac{\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt[4]{b+c}}}+\frac{(\sqrt{c})^2}{\frac{\sqrt[4]{c^3}}{\sqrt[4]{c+a}}}\displaystyle \geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[4]{a+b}}+\frac{\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt[4]{b+c}}+\frac{\sqrt[4]{c^3}}{\sqrt[4]{c+a}}}
តាង \displaystyle A=\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[4]{a+b}}+\frac{\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt[4]{b+c}}+\frac{\sqrt[4]{c^3}}{\sqrt[4]{c+a}}
យើងនឹងស្រាយថាចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន \displaystyle a\leq b\leq c\Rightarrow A\leq \frac{3}{\sqrt[4]{2}}
យើងមាន \displaystyle A=\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[4]{a+b}}+\frac{\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt[4]{b+c}}+\frac{\sqrt[4]{c^3}}{\sqrt[4]{c+a}}=\biggl(\frac{a}{\sqrt[3]{a+b}}\biggl)^{\frac{3}{4}}+\biggl(\frac{b}{\sqrt[3]{b+c}}\biggl)^{\frac{3}{4}}+\biggl(\frac{c}{\sqrt[3]{c+a}}\biggl)^{\frac{3}{4}}\displaystyle \leq \sqrt[4]{3}\biggl(\frac{a}{\sqrt[3]{a+b}}+\frac{b}{\sqrt[3]{b+c}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c+a}}\biggl)^{\frac{3}{4}}
តាង \displaystyle B=\frac{a}{\sqrt[3]{a+b}}+\frac{b}{\sqrt[3]{b+c}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c+a}} យើងនឹងស្រាយថាចំពោះ \displaystyle a\leq b\leq c\Rightarrow B\leq \frac{3}{\sqrt[3]{2}}
តាង x^3=a+b;y^3=c+a;z^3=b+c
ដោយ a\leq b\leq c\Rightarrow x\leq y\leq z
យើងទាញបានៈ
x^3+y^3-z^3=2a; z^3+x^3-y^3=2b;y^3+z^3-x^3=2c
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle B=\frac{(x^3+y^3-z^3)}{2x}+\frac{(y^3+z^3-x^3)}{2y}+\frac{(z^3+x^3-y^3)}{2z}
តាមលំហាត់ទី 74 van khea ចំពោះ x\leq y\leq z យើងមានៈ
\displaystyle \frac{(x^3+y^3-z^3)}{x}+\frac{(y^3+z^3-x^3)}{y}+\frac{(z^3+x^3-y^3)}{z}\leq x^2+y^2+z^2
\displaystyle \Rightarrow B\leq \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle x^2+y^2+z^2=(a+b)^{\frac{2}{3}}+(b+c)^{\frac{2}{3}}+(c+a)^{\frac{2}{3}}\displaystyle \leq \sqrt[3]{3}(2(a+b+c)^{\frac{2}{3}}=3.2^{\frac{2}{3}}
\displaystyle \Rightarrow B\leq \frac{3}{\sqrt[3]{2}}
\displaystyle \Rightarrow A\leq \sqrt[4]{3}(\frac{3}{\sqrt[3]{2}})^{\frac{3}{4}}=\frac{3}{\sqrt[4]{2}}
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \sqrt[4]{a(a+b)}+\sqrt[4]{b(b+c)}+\sqrt[4]{c(c+a)}\geq \frac{\sqrt[4]{2}}{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2
ឥឡូវយើងនឹងស្រាយថាចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c យើងនឹងបានៈ \sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq ab+bc+ca ចំពោះគ្រប់ a+b+c=3
យើងមានៈ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\Rightarrow 2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)  ;(1)
ម្យ៉ាងទៀតតាមវិសមភាព AM-GM យើងមានៈ
a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a
b^2+\sqrt{b}+\sqrt{b}\geq 3b
c^2+\sqrt{c}+\sqrt{c}\geq 3c
យើងបានៈ
a^2+b^2+c^2+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(a+b+c) ; (2)
បូក (1)+(2) យើងបានៈ
\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \sqrt[4]{a(a+b)}+\sqrt[4]{b(b+c)}+\sqrt[4]{c(c+a)}\geq \frac{\sqrt[4]{2}}{3}(ab+bc+ca)^2
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c=1

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: