Problem 249 (van khea)

ឧបមាថា u, v, w ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ u\leq v\leq w ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle (u^2+v^2-w^2)u^3+(v^2+w^2-u^2)v^3+(w^2+u^2-v^2)w^3\displaystyle \geq \frac{(u^2+v^2+w^2)^{\frac{5}{2}}}{3\sqrt{3}}
សំរាយបញ្ជាក់
តាង a=u^2+v^2-w^2 ; b=w^2+u^2-v^2 ; c=v^2+w^2-u^2
\Rightarrow a+b=2u^2; c+a=2v^2; b+c=2w^2 ជំនួសចូលវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
\displaystyle a(a+b)^{\frac{3}{2}}+b(b+c)^{\frac{3}{2}}+c(c+a)^{\frac{3}{2}}\geq \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}(a+b+c)^{\frac{5}{2}}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle a(a+b)^{\frac{3}{2}}+b(b+c)^{\frac{3}{2}}+c(c+a)^{\frac{3}{2}}=\frac{a^4}{(\frac{a}{\sqrt{a+b}})^3}+\frac{b^4}{(\frac{b}{\sqrt{b+c}})^3}+\frac{c^4}{(\frac{c}{\sqrt{c+a}})^3}\displaystyle \geq \frac{(a+b+c)^4}{(\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}})^3}
ដូចនេះយើងចាំបាច់ត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{(a+b+c)^4}{(\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}})^3}\geq \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}(a+b+c)^{\frac{5}{2}}
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ​
\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{a+b}}+\frac{2b}{\sqrt{b+c}}+\frac{2c}{\sqrt{c+a}}\leq 2\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}
តាង x=\sqrt{a+b} ; y=\sqrt{c+a} ; z=\sqrt{b+c}
តាមសម្មតិកម្ម u\leq v\leq w\Rightarrow a\leq b\leq c\Rightarrow x\leq y\leq z
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle 2a=x^2+y^2-z^2 ; 2b=z^2+x^2-y^2; 2c=y^2+z^2-x^2
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{x^2+y^2-z^2}{x}+\frac{y^2+z^2-x^2}{y}+\frac{z^2+x^2-y^2}{z}\leq 2\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}
តាមវិសមភាពទី 74 van khea ចំពោះ x\leq y\leq z យើងមានៈ
\displaystyle \frac{x^2+y^2-z^2}{x}+\frac{y^2+z^2-x^2}{y}+\frac{z^2+x^2-y^2}{z}\leq x+y+z
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle x+y+z=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq 3\sqrt{\frac{2(a+b+c)}{3}}\displaystyle =2\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{x^2+y^2-z^2}{x}+\frac{y^2+z^2-x^2}{y}+\frac{z^2+x^2-y^2}{z}\leq 2\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)} ពិត ។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ ។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c\Leftrightarrow u=v=w

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: