Problem 247 (van khea)

ឧបមាថា a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ a\leq b\leq c និង ab+bc+ca=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{(ab)^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{(bc)^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{1+c^2}}+\frac{(ca)^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{1+a^2}}\leq \sqrt[3]{\frac{9}{8}(a+b+c)}
សំរាយបញ្ជាក់
យើងមាន 1+b^2=ab+bc+ca+b^2=(a+b)(b+c)
\displaystyle \Rightarrow \frac{(ab)^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{1+b^2}}=\frac{a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{a+b}}.\frac{b^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{b+c}}
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{(ab)^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{(bc)^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{1+c^2}}+\frac{(ca)^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{1+a^2}}\displaystyle =\frac{a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{a+b}}.\frac{b^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{b+c}}+\frac{b^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{b+c}}.\frac{c^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{c+a}}+\frac{c^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{c+a}}.\frac{a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{a+b}}
\displaystyle \leq \frac{1}{3}\biggl(\frac{a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{a+b}}+\frac{b^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{b+c}}+\frac{c^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{c+a}}\biggl)^2
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{1}{3}\biggl(\frac{a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{a+b}}+\frac{b^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{b+c}}+\frac{c^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{c+a}}\biggl)^2\leq \sqrt[3]{\frac{9}{8}(a+b+c)}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{a+b}}+\frac{b^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{b+c}}+\frac{c^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{c+a}}\leq \sqrt[6]{\frac{243}{8}(a+b+c)}
តាង \displaystyle x=\sqrt{a+b}; y=\sqrt{c+a}, z=\sqrt{b+c}
តាមសម្មតិកម្មយើងមាន a\leq b\leq c\Rightarrow x\leq y\leq z
យើងទាញបានៈ
x^2+y^2-z^2=2a
y^2+z^2-x^2=2c
z^2+x^2-y^2=2b
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{(x^2+y^2-z^2)^{\frac{2}{3}}}{x}+\frac{(z^2+x^2-y^2)^{\frac{2}{3}}}{z}+\frac{(y^2+z^2-x^2)^{\frac{2}{3}}}{y}\leq \sqrt[6]{486(a+b+c)}
យើងមានៈ
\displaystyle \frac{(x^2+y^2-z^2)^{\frac{2}{3}}}{x}+\frac{(z^2+x^2-y^2)^{\frac{2}{3}}}{z}+\frac{(y^2+z^2-x^2)^{\frac{2}{3}}}{y}\displaystyle \leq 3^{\frac{1}{3}}\biggl(\frac{x^2+y^2-z^2}{x^{\frac{3}{2}}}+\frac{y^2+z^2-x^2}{y^{\frac{3}{2}}}+\frac{z^2+x^2-y^2}{z^{\frac{3}{2}}}\biggl)^{\frac{2}{3}}
តាមលំហាត់ទី 74 van khea ចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a\leq b\leq c និងចំពោះ r, s\geq 0 យើងមានៈ
\displaystyle \frac{a^r+b^r-c^r}{a^s}+\frac{b^r+c^r-a^r}{b^s}+\frac{c^r+a^r-b^r}{c^s}\leq a^{r-s}+b^{r-s}+c^{r-s}
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{x^2+y^2-z^2}{x^{\frac{3}{2}}}+\frac{y^2+z^2-x^2}{y^{\frac{3}{2}}}+\frac{z^2+x^2-y^2}{z^{\frac{3}{2}}}\leq x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}+z^{\frac{1}{2}}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}+z^{\frac{1}{2}}=\sqrt[4]{a+b}+\sqrt[4]{b+c}+\sqrt[4]{c+a}\displaystyle \leq 3^{\frac{3}{4}}(2(a+b+c))^{\frac{1}{4}}
\displaystyle \Rightarrow \frac{(x^2+y^2-z^2)^{\frac{2}{3}}}{x}+\frac{(z^2+x^2-y^2)^{\frac{2}{3}}}{z}+\frac{(y^2+z^2-x^2)^{\frac{2}{3}}}{y}\displaystyle \leq 3^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{3}{4}}(2(a+b+c))^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\leq \sqrt[6]{486(a+b+c)}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល \displaystyle a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: