Problem 246 (van khea)

ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះបណ្ដាចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ
\displaystyle \sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{a\sqrt{bc}}\geq 2\sum_{cyc}\frac{a-b}{a+b}.\frac{a-c}{b}+2\sum_{cyc}\frac{a-c}{a+c}.\frac{a-b}{c}
សំរាយបញ្ជាក់
តាមវិសមភាព AM-GM យើងមានៈ
\displaystyle \sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{a\sqrt{bc}}\geq 2\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{a(b+c)}
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{a(b+c)}\geq \sum_{cyc}\frac{a-b}{a+b}.\frac{a-c}{b}+\sum_{cyc}\frac{a-c}{a+c}.\frac{a-b}{c}
តាង \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} និង \displaystyle g(x)=\frac{1}{a+b+c-x}
យើងបានៈ \displaystyle f''(x)=\frac{2}{x^2} និង \displaystyle g''(x)=\frac{2}{(a+b+c-x)^2}
\displaystyle \Rightarrow f''(x).g''(x)=\frac{4}{x^2(a+b+c-x)^2}>0
តាង \displaystyle h(x)=f(x).g(x)=\frac{1}{x(a+b+c-x)}
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle \Delta_a=\begin{vmatrix}f(b)&-f(c)\\g(b)&g(c)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{1}{b}&-\frac{1}{c}\\\frac{1}{c+a}&\frac{1}{a+b}\end{vmatrix}=\frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(c+a)}
\displaystyle \Delta_b=\begin{vmatrix}f(c)&-f(a)\\g(c)&g(a)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{1}{c}&-\frac{1}{a}\\\frac{1}{a+b}&\frac{1}{b+c}\end{vmatrix}=\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+b)}
\displaystyle \Delta_c=\begin{vmatrix}f(a)&-f(b)\\g(a)&g(b)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{1}{a}&-\frac{1}{b}\\\frac{1}{b+c}&\frac{1}{c+a}\end{vmatrix}=\frac{1}{a(c+a)}+\frac{1}{b(b+c)}
តាមវិសមភាព h-\Delta Van Khea យើងបានៈ
\displaystyle \sum_{cyc}(a-b)^2h(c)\geq \sum_{cyc}(a-b)(a-c)\Delta_a
\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{a(b+c)}\geq \sum_{cyc}\frac{a-b}{a+b}.\frac{a-c}{b}+\sum_{cyc}\frac{a-c}{a+c}.\frac{a-b}{c}
ដូចនេះយើងបានៈ
\displaystyle \sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{a\sqrt{bc}}\geq 2\sum_{cyc}\frac{a-b}{a+b}.\frac{a-c}{b}+2\sum_{cyc}\frac{a-c}{a+c}.\frac{a-b}{c}
សមភាពកើតមានពេល a=b=c

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: