Problem 240 (van khea)

ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះបណ្ដាចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ
\displaystyle \frac{(a-b)^2}{c}+\frac{(b-c)^2}{a}+\frac{(c-a)^2}{b}\displaystyle \geq 2\biggl(\frac{(a-b)(a-c)}{\sqrt{bc}}+\frac{(b-a)(b-c)}{\sqrt{ca}}+\frac{(c-a)(c-b)}{\sqrt{ab}}\biggl)
ណែនាំលំហាត់នេះជាប្រភេទលំហាត់ដែលអនុវត្តន៍លើវិសមភាព h-\Delta Van Khea ។ តើ វិសមភាព h-\Delta Van Khea ជាអ្វី? តើ h-\Delta ជាអ្វី? Van Khea ជាអ្វី?
វិសមភាព​ h-\Delta Van Khea គឺជាឈ្មោះដែលខ្ញុំដាក់អោយឈ្មោះវិសមភាពមួយដោយខ្លួនខ្ញុំផ្ទាល់😀
h-\Delta គឺជាទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍ h(a, b, c) និង \Delta_{a, b, c} នៃអនុគមន៍នោះ។ ហើយមិត្តអ្នកអាននឹងបានយល់លំអឹតបន្ថែមអំពីការស្រាយបញ្ជាក់លំហាត់ខាងលើ។
ចំនែក Van Khea មិនចាំបាច់និយាយក៏ដឹងដែរ។
សំរាយបញ្ជាក់
តាង \displaystyle f(x)=g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, x>0 នោះយើងបានៈ
\displaystyle f''(x)=g''(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}
\displaystyle \Rightarrow f''(x).g''(x)=\frac{9}{16}x^{-5}>0
ដួចនេះយើងតាង \displaystyle h(x)=f(x).g(x)=\frac{1}{x}
យើងបានៈ
\displaystyle \Delta_a=\begin{vmatrix}f(b)&-f(c)\\g(b)&g(c)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{1}{\sqrt{b}}&-\frac{1}{\sqrt{c}}\\\frac{1}{\sqrt{b}}&\frac{1}{\sqrt{c}}\end{vmatrix}=\frac{2}{\sqrt{bc}}
\displaystyle \Delta_b=\begin{vmatrix}f(c)&-f(a)\\g(c)&g(a)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{1}{\sqrt{c}}&-\frac{1}{\sqrt{a}}\\\frac{1}{\sqrt{c}}&\frac{1}{\sqrt{a}}\end{vmatrix}=\frac{2}{\sqrt{ca}}
\displaystyle \Delta_c=\begin{vmatrix}f(a)&-f(b)\\g(a)&g(b)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{1}{\sqrt{a}}&-\frac{1}{\sqrt{b}}\\\frac{1}{\sqrt{a}}&\frac{1}{\sqrt{b}}\end{vmatrix}=\frac{2}{\sqrt{ab}}
ដូចនេះតាមវិសមភាព h-\Delta Van Khea យើងបានៈ
(a-b)^2h(c)+(b-c)^2h(a)+(c-a)^2h(b)\geq (a-b)(a-c)\Delta_a+(b-a)(b-c)\Delta_b+(c-a)(c-b)\Delta_c
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{c}+\frac{(b-c)^2}{a}+\frac{(c-a)^2}{b}\displaystyle \geq 2\biggl(\frac{(a-b)(a-c)}{\sqrt{bc}}+\frac{(b-a)(b-c)}{\sqrt{ca}}+\frac{(c-a)(c-b)}{\sqrt{ab}}\biggl)
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: