Problem 238 (van khea)

ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះបណ្ដាចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ
\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt{b+c}}+\frac{b^2}{\sqrt{c+a}}+\frac{c^2}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)\sqrt{a+b+c}}{\sqrt{2(ab+bc+ca)}}
សំរាយបញ្ជាក់
វិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{\frac{a^2}{a+b+c}}{\sqrt{b+c}}+\frac{\frac{b^2}{a+b+c}}{\sqrt{c+a}}+\frac{\frac{c^2}{a+b+c}}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}}{\sqrt{\frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c}}}
តាង \displaystyle \alpha =\frac{a}{a+b+c}; \beta=\frac{b}{a+b+c}; \gamma=\frac{c}{a+b+c} នោះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{\alpha a}{\sqrt{b+c}}+\frac{\beta b}{\sqrt{c+a}}+\frac{\gamma c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{\alpha a+\beta b+\gamma c}{\sqrt{\alpha(b+c)+\beta(c+a)+\gamma(a+b)}}
តាង \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}; x>0 យើងបានៈ
\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}<0
\displaystyle f''(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}>0
មិនបាត់លក្ខណៈទូទៅនៃលំហាត់ទេ យើងឧបមាថា a\leq b\leq c នោះយើងបានៈ a+b\leq c+a\leq b+c
តាមលក្ខណៈទី 4 នៃវិសមភាពទាំងប្រាំបីយើងទាញបានៈ
\displaystyle \alpha af(b+c)+\beta bf(c+a)+\gamma cf(a+b)\geq (\alpha a+\beta b+\gamma c)f(\alpha (b+c)+\beta (c+a)+\gamma (a+b))
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{\alpha a}{\sqrt{b+c}}+\frac{\beta b}{\sqrt{c+a}}+\frac{\gamma c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{\alpha a+\beta b+\gamma c}{\sqrt{\alpha(b+c)+\beta(c+a)+\gamma(a+b)}} ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: