Problem 234 (vankhea)

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt{1+b^3}}+\frac{b^2}{\sqrt{1+c^3}}+\frac{c^2}{\sqrt{1+a^3}}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{\sqrt{1+abc}}
សំរាយបញ្ជាក់
ដោយ a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមាននោះនាំអោយមាន k\geq 0 ផ្ទៀងផ្ទាត់ abc=k^3
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយវិសមភាពខាងលើជាមួយលក្ខខណ្ឌ abc=k^3
យើងមានៈ
\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt{1+b^3}}+\frac{b^2}{\sqrt{1+c^3}}+\frac{c^2}{\sqrt{1+a^3}}\displaystyle =\frac{(a^2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a^2+a^2b^3}}+\frac{(b^2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{b^2+b^2c^3}}+\frac{(c^2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{c^2+c^2a^3}}\displaystyle \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3}}
តាមលំហាត់ 32 vankhea យើងមាន \displaystyle (a^2+b^2+c^2)^{\frac{5}{2}}\geq 3\sqrt{3}(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3)
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt{1+b^3}}+\frac{b^2}{\sqrt{1+c^3}}+\frac{c^2}{\sqrt{1+a^3}}\displaystyle \geq \frac{3^{\frac{3}{4}}(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt{3\sqrt{3}+(a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}}}
តាង t^2=a^2+b^2+c^2
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ \displaystyle \frac{3^{\frac{3}{4}}t^2}{\sqrt{3\sqrt{3}+t^3}}\geq \frac{3k^2}{\sqrt{1+k^3}}
\displaystyle \Leftrightarrow (t-k\sqrt{3})(\sqrt{3}(1+k^3)t^3+3kt^2+3\sqrt{3}k^2t+9k^3)\geq 0
ពិតជានិច្ចព្រោះ \displaystyle t^2=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3k^2\Rightarrow t\geq k\sqrt{3}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: