Problem 232 (van khea)

ឧបមាថា a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ abc(a^3+b^3+c^3)\leq 3។ ចូរស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{a^3}{b^2+c^4}+\frac{b^3}{c^2+a^4}+\frac{c^3}{a^2+b^4}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}
សំរាយបញ្ជាក់
ដោយ a, b, c>0 នោះយើងអាចតាង abc=k^3; k>0 ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle \frac{a^3}{b^2+c^4}+\frac{b^3}{c^2+a^4}+\frac{c^3}{a^2+b^4}\geq \frac{3k}{1+k^2}
យើងមានៈ \displaystyle \frac{a^3}{b^2+c^4}+\frac{b^3}{c^2+a^4}+\frac{c^3}{a^2+b^4}\displaystyle =\frac{(a^3)^2}{a^3b^2+c^4a^3}+\frac{(b^3)^2}{b^3c^2+a^4b^3}+\frac{(c^3)^2}{c^3a^2+b^4c^3}\displaystyle \geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2+a^4b^3+b^4c^3+c^4a^3}
យើងចាំបាច់ត្រូវស្រាយថាៈ
(a^3+b^3+c^3)^{5}\geq 9(a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2)^3
(a^3+b^3+c^3)^7\geq 81(a^4b^3+b^4c^3+c^4a^3)^3
តាង \displaystyle x=a^3; y=b^3; z=c^3 នោះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle (x+y+z)^5\geq 9(xy^{\frac{2}{3}}+yz^{\frac{2}{3}}+zx^{\frac{2}{3}})^3
\displaystyle (x+y+z)^7\geq 81(x^{\frac{4}{3}}y+y^{\frac{4}{3}}z+z^{\frac{4}{3}}x)^3
យើងមាន
\displaystyle ((x^2y)^{\frac{1}{3}}.(xy)^{\frac{1}{3}}.1^{\frac{1}{3}}+(y^2z)^{\frac{1}{3}}.(yz)^{\frac{1}{3}}.1^{\frac{1}{3}}+(z^2x)^{\frac{1}{3}}.(zx)^{\frac{1}{3}}.1^{\frac{1}{3}})^3\displaystyle \leq 3(x^2y+y^2z+z^2x)(xy+yz+zx)
\displaystyle \Leftrightarrow (xy^{\frac{2}{3}}+yz^{\frac{2}{3}}+zx^{\frac{2}{3}})^3\leq 3(x^2y+y^2z+z^2x)(xy+yz+zx)\displaystyle \leq \frac{(x+y+z)^5}{9}
\displaystyle \Rightarrow (x+y+z)^5\geq 9(xy^{\frac{2}{3}}+yz^{\frac{2}{3}}+zx^{\frac{2}{3}})^3
ដូចគ្នាដែរយើងមានៈ
\displaystyle ((x^2y)^{\frac{1}{3}}(xy)^{\frac{1}{3}}(xy)^{\frac{1}{3}}+(x^2y)^{\frac{1}{3}}(xy)^{\frac{1}{3}}(xy)^{\frac{1}{3}}+(x^2y)^{\frac{1}{3}}(xy)^{\frac{1}{3}}(xy)^{\frac{1}{3}})^3\displaystyle \leq (x^2y+y^2z+z^2x)(xy+yz+zx)^2\displaystyle \leq \frac{(x+y+z)^5}{27}.\frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{(x+y+z)^7}{81}
\displaystyle \Rightarrow (x+y+z)^7\geq 81(x^{\frac{4}{3}}y+y^{\frac{4}{3}}z+z^{\frac{4}{3}}x)^3
ដូចនេះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle \frac{a^3}{b^2+c^4}+\frac{b^3}{c^2+a^4}+\frac{c^3}{a^2+b^4}\displaystyle \geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\frac{(a^3+b^3+c^3)^{\frac{5}{3}}}{\sqrt[3]{9}}+\frac{(a^3+b^3+c^3)^{\frac{7}{3}}}{3\sqrt[3]{3}}}\displaystyle \geq \frac{3\sqrt[3]{9}(a^3+b^3+c^3)^{\frac{1}{3}}}{3+\sqrt[3]{3}(a^3+b^3+c^3)^{\frac{2}{3}}}
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ \displaystyle \frac{3\sqrt[3]{9}(a^3+b^3+c^3)^{\frac{1}{3}}}{3+\sqrt[3]{3}(a^3+b^3+c^3)^{\frac{2}{3}}}\displaystyle \geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}
តាង \displaystyle t^3=a^3+b^3+c^3\& k^3=abc នោះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{3\sqrt[3]{9}t}{3+\sqrt[3]{3}t^2}\geq \frac{3k}{1+k^2}
\displaystyle \Leftrightarrow (t-\sqrt[3]{3}k)(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}kt)\geq 0 ពិតជានិច្ចតាមលក្ខខណ្ឌលំហាត់ខាងលើ។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជា់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c\leq 1

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: