Problem 231 (van khea)

គេអោយ x, y, z ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{1}{(x^2+y^2)^2}+\frac{1}{(y^2+z^2)^2}+\frac{1}{(z^2+x^2)^2}\geq \frac{9}{4(x^3y+y^3z+z^3x)}
សំរាយបញ្ជាក់
ជាដំបូងយើងត្រូវស្រាយថាចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន x, y, z នាំអោយ \displaystyle \frac{1}{(x^2+y^2)^2}+\frac{1}{(y^2+z^2)^2}+\frac{1}{(z^2+x^2)^2}\geq \frac{9}{4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}
តាង m=x^2; n=y^2; p=z^2 នោះយើងបានៈ
\displaystyle \frac{1}{(m+n)^2}+\frac{1}{(n+p)^2}+\frac{1}{(p+m)^2}\geq \frac{9}{4(mn+np+pm)}
តាង a=m+n; b=n+p; c=p+m នោះវិសមភាពខាងលើសមមូលនឹងៈ
\displaystyle (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq 9
\displaystyle \Leftrightarrow (\frac{2}{bc}-\frac{1}{a^2})(b-c)^2+(\frac{2}{ca}-\frac{1}{b^2})(c-a)^2+(\frac{2}{ab}-\frac{1}{c^2})(a-b)^2\geq 0
តាង \displaystyle S_a=\frac{2}{bc}-\frac{1}{a^2};S_b=\frac{2}{ca}-\frac{1}{b^2};S_c=\frac{2}{ab}-\frac{1}{c^2}
ឧបមាថា a\geq b\geq c\Rightarrow S_a\geq 0 និង \displaystyle \biggl(\frac{a-b}{a-c}\biggl)^2\leq \biggl(\frac{c}{b}\biggl)^2
ដូចនេះយើងបានៈ \displaystyle S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2+S_c(a-b)^2\displaystyle =S_a(b-c)^2+(a-c)^2(S_b+\frac{(a-b)^2}{(a-c)^2}S_c)\displaystyle \geq S_a(b-c)^2+(a-c)^2(S_b+\frac{c^2}{b^2}S_c)\displaystyle =S_a(b-c)^2+\frac{(a-c)^2}{b^2}(b^2S_b+c^2S_c)
ដូចនេះយើងគ្រាន់តែស្រាយថា b^2S_b+c^2S_c\geq 0 ជាការស្រេច។
យើងមាន \displaystyle b^2S_b+c^2S_c=\frac{2b^2}{ca}-1+\frac{2c^2}{ab}-1\geq 0
\Leftrightarrow b^3+c^3\geq abc
យើងមាន \displaystyle b^3+c^3\geq \frac{1}{2}(b+c)(b^2+c^2)\geq (b+c)bc\geq abc ពិតព្រោះ b+c=n+p+p+m\geq m+n=a
ដូចនេះយើងទាញបានៈ
\displaystyle \frac{1}{(x^2+y^2)^2}+\frac{1}{(y^2+z^2)^2}+\frac{1}{(z^2+x^2)^2}\geq \frac{9}{4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}
ឥឡូវយើងនឹងស្រាយថាៈ \displaystyle \frac{9}{4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}\geq \frac{9}{4(x^3y+y^3z+z^3x)}
\displaystyle \Leftrightarrow x^3y+y^3z+z^3x\geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2
ដោយ x, y, z ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណនោះយើងអាចឧបមាថា x\geq y\geq z
យើងមាន x\geq y\Rightarrow x^2+yz\geq y^2+zx\geq z^2+xy និង \displaystyle \frac{1}{x}\leq \frac{1}{y}\leq \frac{1}{z}
តាងវិសមភាពតំរៀបយើងបានៈ
\displaystyle \frac{x^2+yz}{x}+\frac{y^2+zx}{y}+\frac{z^2+xy}{z}\leq \frac{x^2+yz}{z}+\frac{y^2+zx}{x}+\frac{z^2+xy}{y}
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}\leq \frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}
\displaystyle \Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\leq x^3y+y^3z+z^3x ពិត។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល x=y=z

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: