Problem 230 (van khea)

គេអោយ a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់ ab+bc+ca=1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle \frac{a}{(b+c)^3}+\frac{b}{(c+a)^3}+\frac{c}{(a+b)^3}\geq \frac{9}{8}
សំរាយបញ្ជាក់
យើងមានៈ
\displaystyle \frac{a}{(b+c)^3}+\frac{b}{(c+a)^3}+\frac{c}{(a+b)^3}\displaystyle =\frac{a(b+c)}{(b+c)^4}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^4}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^4}
ឧបមាថា \displaystyle a\leq b\leq c\Rightarrow \frac{1}{(a+b)^4}\geq \frac{1}{(a+b)^4}\geq \frac{1}{(a+b)^4}\& c(a+b)\geq b(c+a)\geq a(b+c)
តាមវិសមភាព Chebyshev យើងបានៈ
\displaystyle \frac{a(b+c)}{(b+c)^4}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^4}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^4}\displaystyle \geq \frac{1}{3}(2(ab+bc+ca))(\frac{1}{(a+b)^4}+\frac{1}{(b+c)^4}+\frac{1}{(c+a)^4})
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a}{(b+c)^3}+\frac{b}{(c+a)^3}+\frac{c}{(a+b)^3}\displaystyle \geq \frac{2}{3}(\frac{1}{(a+b)^4}+\frac{1}{(b+c)^4}+\frac{1}{(c+a)^4})
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle \frac{1}{(a+b)^4}+\frac{1}{(b+c)^4}+\frac{1}{(c+a)^4}\displaystyle \geq \frac{1}{3}(\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2})^2
ម្យ៉ាងទៀតតាមវិសមភាព Iran 1996 យើងមានៈ
\displaystyle \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}\geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}=\frac{9}{4}
ដូចនេះយើងទាញបានៈ \displaystyle \frac{a}{(b+c)^3}+\frac{b}{(c+a)^3}+\frac{c}{(a+b)^3}\geq \frac{9}{8}
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល a=b=c

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: