Problem 222 (van khea)

គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់ a^3+b^3+c^3=3 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
(ab)^4+(bc)^4+(ca)^4\leq a^6+b^6+c^6
សំរាយបញ្ជាក់
តាង x=a^3; y=b^3; z=c^3\Rightarrow x+y+z=3 នោះយើងបានៈ \displaystyle (xy)^{\frac{4}{3}}+(yz)^{\frac{4}{3}}+(zx)^{\frac{4}{3}}\leq x^2+y^2+z^2
យើងមានៈ \displaystyle (xy)^{\frac{4}{3}}=(x^2y)^{\frac{1}{3}}(xy^2)^{\frac{1}{3}}(xy)^{\frac{1}{3}}
\displaystyle \Rightarrow (xy)^{\frac{4}{3}}+(yz)^{\frac{4}{3}}+(zx)^{\frac{4}{3}}\displaystyle =(x^2y)^{\frac{1}{3}}(xy^2)^{\frac{1}{3}}(xy)^{\frac{1}{3}}+(y^2z)^{\frac{1}{3}}(yz^2)^{\frac{1}{3}}(yz)^{\frac{1}{3}}+(z^2x)^{\frac{1}{3}}(zx^2)^{\frac{1}{3}}(zx)^{\frac{1}{3}}
តាមវិសមភាព Holder យើងមានៈ
\displaystyle ((x^2y)^{\frac{1}{3}}(xy^2)^{\frac{1}{3}}(xy)^{\frac{1}{3}}+(y^2z)^{\frac{1}{3}}(yz^2)^{\frac{1}{3}}(yz)^{\frac{1}{3}}+(z^2x)^{\frac{1}{3}}(zx^2)^{\frac{1}{3}}(zx)^{\frac{1}{3}})^3
\displaystyle \leq (x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2)(xy+yz+zx)
\displaystyle \Leftrightarrow ((xy)^{\frac{4}{3}}+(yz)^{\frac{4}{3}}+(zx)^{\frac{4}{3}})^3\displaystyle \leq (x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2)(xy+yz+zx)
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
\displaystyle x^3+y^3+z^3\geq \frac{1}{3}(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\geq xy+yz+zx
\displaystyle \Rightarrow ((xy)^{\frac{4}{3}}+(yz)^{\frac{4}{3}}+(zx)^{\frac{4}{3}})^3\displaystyle \leq (x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2)(x^3+y^3+z^3)
តាមវិសមភាព AM-GM យើងមានៈ
\displaystyle (x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2)(x^3+y^3+z^3)\displaystyle \leq \biggl(\frac{x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+x^3+y^3+z^3}{3}\biggl)^3\displaystyle \leq \biggl(\frac{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)}{3}\biggl)^3=(x^2+y^2+z^2)^3
\displaystyle \Rightarrow ((xy)^{\frac{4}{3}}+(yz)^{\frac{4}{3}}+(zx)^{\frac{4}{3}})^3\leq (x^2+y^2+z^2)^3
\displaystyle \Rightarrow (xy)^{\frac{4}{3}}+(yz)^{\frac{4}{3}}+(zx)^{\frac{4}{3}}\leq x^2+y^2+z^2
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: