Problem 221 (van khea)

បង្ហាញថាចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន a, b, c គេបានៈ \displaystyle (a^2+b^2+c^2)^3\geq 8\biggl[(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\biggl]
សំរាយបញ្ជាក់
យើងពិនិត្យលើវិសមភាពខាងលើឃើញថាសមមភាពកើតមានពេលមានពីរចំនួនស្មើគ្នានិងមួយចំនួនទៀតស្មើសូន្យ។ ដូចនេះយើងអាចឧបមាថា a\geq b\geq c\geq 0 ។ ឥឡូវយើងសន្មត់ថាមាន t\geq c\geq 0 បន្ទាប់មកយើងតាង a=t+c; b=t-c ជំនួសចូលវិសមភាពខាងលើយើងបានៈ
\displaystyle (a^2+b^2+c^2)^3=((t+c)^2+(t-c)^2+c^2)^3=(2t^2+3c^2)^3
\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^3=8t^6+36c^2t^4+54c^4t^2+27c^6
ម្យ៉ាងទៀតយើងមានៈ
(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3=(ab)^3+c^3(a^3+b^3)=(t^2-c^2)^3+c^3((t+c)^3+(t-c)^3)
\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3=t^6-3c^2t^4+2c^3t^3+3c^4t^2+6c^5t-c^6
ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាចំពោះគ្រប់ t\geq c\geq 0 នាំអោយយើងបានៈ
\displaystyle 8t^6+36c^2t^4+54c^4t^2+27c^6\geq 8(t^6-3c^2t^4+2c^3t^3+3c^4t^2+6c^5t-c^6)
\displaystyle \Leftrightarrow 60t^4-16ct^3+30c^2t^2-48c^3t+35c^4\geq 0
\displaystyle \Leftrightarrow t^4-\frac{4}{15}t^3+\frac{1}{2}c^2t^2-\frac{4}{5}c^3t+\frac{3}{5}c^4\geq 0
\displaystyle \Leftrightarrow (t^2-\frac{2}{15}ct)^2+c^2(\frac{217}{255}t^2-\frac{4}{5}ct+\frac{3}{5}c^2)\geq 0
តាមវិសមភាពខាងលើនេះយើងគ្រាន់តែស្រាយថា \displaystyle \frac{217}{255}t^2-\frac{4}{5}ct+\frac{3}{5}c^2\geq 0 ជាការស្រេច។
យើងមាន \displaystyle \Delta=(\frac{4}{5}c)^2-4.\frac{217}{225}.\frac{3}{5}c^2<0
ដូចនេះយើងទាញបាន \displaystyle \frac{217}{255}t^2-\frac{4}{5}ct+\frac{3}{5}c^2\geq 0 ពិតជានិច្ច។
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ សមភាពកើតមានពេល c=0; a=b=t

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: