Problem 220 (van khea)

គេអោយ a, b, c ជាបីចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
\displaystyle (a^6+b^6+c^6)^7\geq 81\biggl[(ab)^7+(bc)^7+(ca)^7\biggl]^3
សំរាយបញ្ជាក់
តាង x=a^6; y=b^6; z=c^6 ដូចនេះយើងត្រូវស្រាយថាៈ
\displaystyle (x+y+z)^7\geq 81\biggl[(xy)^{\frac{7}{6}}+(yz)^{\frac{7}{6}}+(zx)^{\frac{7}{6}}\biggl]^3
យើងមានៈ \displaystyle (xy)^{\frac{7}{6}}=(x^3)^{\frac{1}{18}}(y^3)^{\frac{1}{18}}(xy^2)^{\frac{1}{9}}(x^2y)^{\frac{1}{9}}(xy)^{\frac{2}{3}}
\displaystyle \Rightarrow (xy)^{\frac{7}{6}}+(yz)^{\frac{7}{6}}+(zx)^{\frac{7}{6}}
\displaystyle =(x^3)^{\frac{1}{18}}(y^3)^{\frac{1}{18}}(xy^2)^{\frac{1}{9}}(x^2y)^{\frac{1}{9}}(xy)^{\frac{2}{3}}+(y^3)^{\frac{1}{18}}(z^3)^{\frac{1}{18}}(yz^2)^{\frac{1}{9}}(y^2z)^{\frac{1}{9}}(yz)^{\frac{2}{3}}\displaystyle +(z^3)^{\frac{1}{18}}(x^3)^{\frac{1}{18}}(zx^2)^{\frac{1}{9}}(z^2x)^{\frac{1}{9}}(zx)^{\frac{2}{3}}
ដោយ \displaystyle \frac{1}{18}+\frac{1}{18}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{2}{3}=1 តាមវិសមភាព Holder's យើងបានៈ
\displaystyle (xy)^{\frac{7}{6}}+(yz)^{\frac{7}{6}}+(zx)^{\frac{7}{6}}\displaystyle \leq (x^3+y^3+z^3)^{\frac{2}{18}}(x^2y+y^2z+z^2x)^{\frac{1}{9}}(xy^2+yz^2+zx^2)^{\frac{1}{9}}(xy+yz+zx)^{\frac{2}{3}}
\displaystyle \Leftrightarrow (xy)^{\frac{7}{6}}+(yz)^{\frac{7}{6}}+(zx)^{\frac{7}{6}}\displaystyle \leq ((x^3+y^3+z^3)(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2))^{\frac{1}{9}}(xy+yz+zx)^{\frac{2}{3}}
តាមវិសមភាព AM-GM inequality យើងមានៈ
\displaystyle (x^3+y^3+z^3)(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2)\leq \biggl(\frac{x^3+y^3+z^3+x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2}{3}\biggl)^3
\displaystyle \Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3)(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2)\leq \biggl(\frac{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)}{3}\biggl)^3
\displaystyle \Rightarrow (xy)^{\frac{7}{6}}+(yz)^{\frac{7}{6}}+(zx)^{\frac{7}{6}}\leq \biggl(\frac{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)}{3}\biggl)^{\frac{1}{3}}\displaystyle (xy+yz+zx)^{\frac{2}{3}}
\displaystyle \Leftrightarrow (xy)^{\frac{7}{6}}+(yz)^{\frac{7}{6}}+(zx)^{\frac{7}{6}}\leq \frac{(x+y+z)^{\frac{1}{3}}((x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)^2)^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{3}}
តាមវិសមភាព AM-GM យើងមានៈ
\displaystyle (x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)^2\leq \biggl(\frac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)}{3}\biggl)^3
\displaystyle \Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)^2\leq \frac{(x+y+z)^6}{27}
\displaystyle \Rightarrow (xy)^{\frac{7}{6}}+(yz)^{\frac{7}{6}}+(zx)^{\frac{7}{6}}\leq \frac{(x+y+z)^{\frac{1}{3}}(x+y+z)^2}{3\sqrt[3]{3}}\displaystyle =\frac{(x+y+z)^{\frac{7}{3}}}{3\sqrt[3]{3}}
\displaystyle \Rightarrow (x+y+z)^7\geq 81((xy)^{\frac{7}{6}}+(yz)^{\frac{7}{6}}+(zx)^{\frac{7}{6}})^3
ដូចនេះវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ ។ សមភាពកើមានពេល x=y=z\Leftrightarrow a=b=c

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s

%d bloggers like this: